Preisrätsel: Lösungen 2017

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Lösung des Preisrätsels vom Dezember 2017:

Netzwerk-Variationen

Anzahl aller Varianten = $12\choose 7$	792
Anzahl verschiedener Typen	38
lineare Netzwerke	5
verzweigte Netzwerke	15
geteilte Netzwerke	6
unvollständige Netzwerke	12

Ausführliche Beschreibung der Lösung

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Lösung des Preisrätsels vom November 2017:

Minimale Netzwerke

zus. Knoten	Koordinaten	Netzwerklänge
0	-	$7\cdot2$	$14,000000$
1	$K_1=(0,0,0)$	$8\cdot\sqrt3$	$13,856406$
2	$x=1-{\textstyle\frac1{15}}\sqrt{30}=0,634852$ $K_{1,2}=(\pm x,0,0)$	$\sqrt{30}\cdot 2+2$	$12,954451$
5	$x=y=1-{\textstyle\frac16}\sqrt{6}=0,591752$ $K_1=(0,0,0)$ $K_{2,3,4,5}=(\pm x,\pm y,0)$	$4\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3})$	$12,585057$
6	$x_1=1-{\textstyle\frac13}\sqrt3=0,422650$ $x_2=1-{\textstyle\frac16}\sqrt3=0,711325$ $y={\textstyle\frac12}=0,500000$ $K_{1,2}=(\pm x_1,0,0)$ $K_{3,4,5,6}=(\pm x_2,\pm y,0)$	$\sqrt{3}\cdot 6+2$	$12,392305$

Ausführliche Beschreibung der Lösung

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Lösung des Preisrätsels vom Oktober 2017:

Sphärisches Dreieck

r	1,183444958086776331
A	6,439003969034516891
α	2,157701737812460078 = 123,62720302°
β	0,687551689616370590 = 39,39381001°
γ	4,893847985184389429 = 280,39683513°

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Lösung des Preisrätsels vom September 2017:

Gleichungen für ebene Dreiecke
$\alpha = \arccos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}\right)$
$\beta = \arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$
$\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ mit $\quad s=\frac{a+b+c}2$
weitere Gleichungen $z \in \Bbb C \setminus \{0\}\quad$ und $\quad x\in\Bbb R^+$
$\arccos z=-i\ln \left(z+i {\sqrt {1-z^2}}\right)$
$\ln(-x) = \ln x + i\pi$

Imaginäres Dreieck

$\alpha = \arccos(1,1)=0,4435682544i$

$\beta = \arccos(1,7)=1,1232309826i$

$\gamma = \arccos(-2,5)=π-1,5667992370i$

$A=\sqrt{-11,8125}=3,4369317712i$

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Lösung des Preisrätsels vom August 2017:

die Koordinaten der Punkte als Funktion von $\alpha$
$\overrightarrow{P_0}=\left(\matrix{0\\0}\right)$
$\overrightarrow{P_1}=\left(\matrix{-4\\0}\right)$
$\overrightarrow{P_2}=\left(\matrix{-4+2\cdot\cos\alpha\\2\cdot\sin\alpha}\right)$
$\overrightarrow{P_3}=\left(\matrix{ \cos\alpha - 2 + \sin\alpha \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} \\ \sin\alpha + (2-\cos\alpha) \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} }\right)$
$\overrightarrow{P_4}=\left(\matrix{ \sin\alpha \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} \\ (2-\cos\alpha) \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} }\right)$

Mechanik: aus rund wird gerade

1.	Der Name ist "Tschebyschow-Lambda-Mechanismus"
2.	siehe Auflistung links
3.		x_max	x_min	y_max	y_min	y_max	y_min	y_max	y_min
	α	0,977	5,306	0,000	1,571	2,246	3,142	4,037	4,712
	x	4,704	-4,704	0,000	4,000	2,385	0,000	−2,385	−4,000
	y	8,175	8,175	9,798	8,000	8,020	8,000	8,020	8,000
4.	Der Flächeninhalt ist 4π = 12,5663706143

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Lösung des Preisrätsels vom Juli 2017:
	das elliptische Blumenbeet Die Abbildung links ist maßstäblich. Deshalb ist die Rolle und die Stäbe nicht zu sehen. Die Daten links außen gehören zur Abbildung. 1.) Umfangsunterschied = 4,150698 % 2.) Umdrehungen der Rolle = 42,441318 Ausführliche Beschreibung der Lösung nochmal zurück zu diesem Rätsel

Lösung des Preisrätsels vom Juni 2017:

Formel

zur Berechnung der Rencontres-Zahlen
(in diesem Fall Treffer-Verteilung)

$$D_{n,k}=\frac {n!}{k!}\cdot \sum _{i=0}^{n-k}\frac{\left(-1\right)^{i} } {i!}$$

Dabei ist n die Anzahl der Kugeln
und k die Gewinnklasse.

Zahlenlotto 6 aus 6 in richtiger Reihenfolge

Gewinnklasse	0	1	2	3	4	5	6
Treffer-Verteilung	265	264	135	40	15	0	1
Wahrscheinlichkeit	0,368	0,367	0,188	0,056	0,021	0,000	0,001
Gewinn in % des Einsatzes	38,81	38,96	76,19	257,14	685,71	-	10.286

Der Gewinn der Lottogesellschaft ist 14,2856% der Spieleinnahmen.

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Lösung des Preisrätsels vom Mai 2017:

Zahl hinter # bedeutet Anzahl der Wurzeln
ceil(1010(10#4+10#3))	= 249
floor(1010(4#3+3#2))	= 250
ceil(1010(4#3+3#2))	= 251
floor(1010(10#3+4#3))	= 252
ceil(1010(10#3+4#3))	= 253
die größten Zahlen:
101010*10	= 10000
101010*ceil(sqrt(10))	= 4000
1010ceil(10*sqrt(10))	= 3200
10ceil(1010*sqrt(10))	= 3170
ceil(101010*sqrt(10))	= 3163
floor(101010*sqrt(10))	= 3162

Mathematik-Fragen
Wenn man systematisch vorgeht, bildet man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 aus nur einer 10
und die Zahlen 0 bis 18 aus zwei 10er.
Die letzte 10 wird als Faktor verwendet in der Darstellung $$\tona{\text{(Zahl aus zwei 10er)}\cdot 10\pm\text{(Zahl aus einer 10)}}$$ Die Zahlen, die auf $5$ enden, werden damit nicht erfasst, aber können bis $5\cdot17$ aus der Sammlung von Zahlen mit zwei 10er erzeugt werden. Darüber hinaus ist systematisches kreatives Suchen angesagt, nebenstehend bis 253.

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Lösung des Preisrätsels vom April 2017:

Mondbahnen

Mond	Periode		Krümmung
Mond	$\{t_p\}$	$[t_p]$	$\{κ_{max}\}$	$\{κ_{min}\}$	$[\kappa]$
Erdmond	29,530634	Tage	1,363542	0,580427	1/AE
ISS	92,016095	min	933,376396	-2.683,151166	1/AE
geostationär	1,000000	Tage	31,818160	-45,615940	1/AE
SOHO in L1	-	Jahre	1,010101	1,010101	1/AE
WMAP in L2	-	Jahre	0,990099	0,990099	1/AE

$$ r_3 = 0,00173838\;AE=260.757\;km \quad\quad T_3 = 15,2289\;Tage \\ r_4 = 849,339\;AE=127.401\;Mio\;km \quad\quad T_4 = 24.752,6\;Jahre $$ Ausführliche Beschreibung der Lösung

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Lösung des Preisrätsels vom März 2017:

Rätselhafte Zahlenpaare

Wenn das erste Zahlenpaar als 10011110000111110000 und 13c3e0 gegeben worden wäre, hätte fast jeder sofort erkannt, dass es sich nicht um Zahlen im 10er-System, sondern um A-Zahlen im 2er-System und B-Zahlen im 16er-System handelt. Umgewandelt zum 10er-System ist das dann 647664 und 1295328 und damit ist die B-Zahl doppelt so groß wie die A-Zahl. Aus der Ziffernstatistik (siehe links) erkennt man, dass es sich vermutlich um A-Zahlen im 8er-System und B-Zahlen im 9er-System handelt, also gilt: $$2\cdot A_8=B_9$$ nochmal zurück zu diesem Rätsel

Lösung des Preisrätsels vom Februar 2017:

Die Jahreszeiten

	Winter	Frühling	Sommer	Herbst
Länge der Jahreszeiten 2017	24,365%	25,393%	25,641%	24,601%
Summe der Strahlungsenergie	25%	25%	25%	25%

Der längste Sommer wird etwa im Jahr 3570 mit 93,9566 Tagen sein.

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Lösung des Preisrätsels vom Januar 2017:

analoge Zufallsgeneratoren

1.)	$x=\frac1{m^n}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}(m^{i-1}\cdot w_i)$ mit Anzahl der Würfe $n=\lceil\frac{\ln2\cdot53}{\ln m}\rceil$ bei $m$ Möglichkeiten des Generators mit Wurfergebnisse $0\le w_i\lt m$
2.)	zwei Würfe $w_1$ und $w_2$ $x=(6\cdot w_1+w_2)\mod7$ wenn $w_1=w_2=6$ dann Wiederholung
3.)	siehe Abbildungen links

Ausführliche Beschreibung der Lösung

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Formel

zur Berechnung der Rencontres-Zahlen(in diesem Fall Treffer-Verteilung)

Dabei ist n die Anzahl der Kugelnund k die Gewinnklasse.

zur Berechnung der Rencontres-Zahlen
(in diesem Fall Treffer-Verteilung)

Dabei ist n die Anzahl der Kugeln
und k die Gewinnklasse.