Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Juni 2017

1.) die Anzahl der Anordnungen

Die erste Frage lautet: wie viele verschiedenen Anordnungen gibt es bei 6 verschiedenen Kugeln?
Für eine Erklärung ist es sinnvoll mit kleinen Zahlen anzufangen:

eine Kugel kann nur in einer Weise angeordnet werden
bei zwei Kugeln kann die erste Stelle mit der Kugel 1 oder 2 belegt werden,
übrig bleibt noch die Anordnung von einer Kugel: also zusammen 2 mal 1 Anordnungen
bei drei Kugel kann die erste Stelle mit der Kugel 1, 2 oder 3 belegt werden,
übrig bleibt noch die Anordnung von zwei Kugeln: also zusammen 3 mal 2 mal 1 Anordnungen
usw.
bei sechs Kugel also zusammen 6 mal 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1 Anordnungen

Anzahl der Kugeln	1	2	3	4	5	6
Anzahl der Anordnungen	1! = 1	2! = 2	3! = 6	4! = 24	5! = 120	6! = 720

2.) die Verteilung auf die Gewinnklassen

Die zweite deutlich schwierigere Frage lautet: wie sind die 720 mögliche Anordnungen beim Vergleich mit einer beliebig gewählten Anordnung auf die Gewinnklassen verteilt? Dabei sollte klar sein, dass jede beliebig gewählte Vergleichsanordnung zum gleichen Gesamtergebnis führt.

Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen. Hier sind einige aufgelistet:

1.) von Hand alle Anordnungen auflisten und die zur Gewinnklasse gehörige Anzahl von Übereinstimmungen auszählen
2.) ein kleines Programm schreiben, welches die Arbeit von Punkt 1.) erledigt
3.) mit einem Zufallsgenerator große Mengen von Anordnungen erzeugen und den Gewinnklassen zuordnen
4.) nach einer mathematischen Formel suchen

Punkt 1.) Hierzu ist zu sagen, dass es eine große Fleißarbeit wäre und die Gefahr besteht, dass man Fehler macht. Aber unmöglich ist es nicht. Hier folgt eine Computer unterstützte Liste. Dabei werden nur die ersten und letzten 10 Einträge angezeigt. Die Gewinnklasse ergibt sich dabei aus dem Vergleich mit der ersten Zeile:

Nr	Anordnung	Gewinnklasse
1		6
2		4
3		4
4		3
5		3
6		4
7		4
8		2
9		3
10		2
	usw.
710		1
711		1
712		1
713		2
714		2
715		0
716		0
717		0
718		0
719		0
720		0

Tabelle 1

Gewinnklasse	0	1	2	3	4	5	6
Treffer-Verteilung	265	264	135	40	15	0	1

Tabelle 2

Punkt 2.) Im folgenden ist ein kurzes JAVASCRIPT-Programm gelistet, mit dem auch die Tabelle 1 erzeugt wurde. Es sind nur die Tabellenausgaben weggelassen, denn es soll ja nur die Frage nach der Treffer-Verteilung beantwortet werden.


var a = [];                     // leere Anordnung zum Auffüllen
var b = [1,2,3,4,5,6];          // Vergleichsanordnung und Vorgabe der Anzahl
var q = [0,0,0,0,0,0,0];        // Ergebnisse: Treffer in den Gewinnklassen
var n = b.length;               // Anzahl der Kugeln aus b

function it(x,y)                // tranportiert ein Element von y nach x
{
    var i;                      // lokaler Zählindex
    if( y.length > 0 )          // wenn noch was von y übrig ist
    {
        for(i=0;i<y.length;i++) // durchläuft alle gebliebenen Elemente von y
        {
            lx = x.slice();     // kopiert x nach lx (local x)
            ly = y.slice();     // kopiert y nach ly (local y)
            lx.push( ly[i] );   // hängt Element ly[i] an lx an
            ly.splice( i, 1 );  // das Element wird aus ly ausgeschnitten
            it(lx,ly);          // Selbstaufruf der Funktion
        }
    }else{                      // fertige Anordnung erreicht
        z=0;                    // Zähler auf Null setzen
        for( i=0; i<n; i++ )    // durchläuft alle Kugelpositionen
        {
            if(b[i]==x[i]) z++; // zählen der Übereinstimmungen
        }
        q[z]++;                 // erhöht den Zählerstand der Gewinnklasse
    }                           // Ende der Iterationsstufe
}

it(a,b);                        // startet die selbstaufrufende Funktion
alert(q);                       // gibt die Treffer-Ergebnisse aus

Wer dieses Programm ausprobieren will kann hier drücken. Es wird dann auf diesem Computer sofort berechnet und es kommen die Zahlen wie in Tabelle 2 heraus.

Punkt 3.) Wem sich selbst aufrufende Programme zu kompliziert erscheinen kann auf die Monte-Carlo-Methode zurückgreifen. Dazu ist nur ein einfacher Zufallsgenerator erforderlich:


function generator()                        // erzeugt ein Array mit Zufallsfolge des Arrays a()
{
    var a = new Array(1,2,3,4,5,6)          // gibt die Kugeln vor
    var erg = new Array()                   // Definition des Ergebnis-Arrays
    for ( i = a.length; i >= 1; i-- )
    {
        x = Math.floor(Math.random() * i);  // erzeugt Zufallszahl x zwischen 0 und i-1
        erg.push(Number(a.splice(x,1)));    // schneidet Position x aus a() und fügt dies erg() an
    }
    return erg;                             // Ergebnis-Array ist Rückgabewert der Funktion
}

Wer auch diesen Generator mal schnell testen will drückt hier.
Nun kann man eine große Anzahl von Zufallswerten erzeugen und jeweils testen, in welche Gewinnklasse sie fallen.
In der folgenden Tabelle sind pro Zeile 720 Zufallsanordnungen erzeugt worden und diese auf die Gewinnklassen verteilt als Anzahl ausgegeben.

Gewinnklasse	0	1	2	3	4	5	6










Mittelwerte
Abweichung

Tabelle 3

Wie man an der Abweichung des Mittelwerts zum perfekten Wert sieht ist die Genauigkeit nicht sehr hoch. Man muss weitere Treffer-Verteilungen erzeugen und damit dem Mittelwert über alle Verteilungen verbessern. Dazu hier drücken. Hiermit lässt sich die Anzeige wieder zurücksetzen.

Punkt 4.) Mit sechs Kugeln ist der Aufwand zur Gewinnung der Treffer in den Gewinnklassen noch gerade erträglich, aber was macht man, wenn die Zahl deutlich größer wird? Auch das Iterationsverfahren versagt wegen der schnell größer werdenden Laufzeit. Gibt es also eine Formel zur Berechnung dieser Zahlen? Wenn man nicht weiss wo man danach suchen soll ist es nicht einfach. Eine Möglichkeit ist, mit den bekannten Zahlen eine Internetsuche zu starten. Das muss aber schon gezielt auf der Seite oeis.org (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) erfolgen. Dort findet man sofort die Reihe A008290. Das ist noch keine Formel, aber man hat viele Hinweise zum Weitersuchen, z.B. nach "rencontres numbers". Das führt zur Wikipediaseite https://en.wikipedia.org/wiki/Rencontres_numbers, die es auch auf deutsch gibt: https://de.wikipedia.org/wiki/Rencontres-Zahl und dort steht die Formel $$D_{n,k}=\frac {n!}{k!}\cdot \sum _{i=0}^{n-k}\frac{\left(-1\right)^{i} } {i!}$$ Dabei ist für unseren Fall n die Anzahl der Kugeln (in Tabelle 4 horizontal) und k die Gewinnklasse (in Tabelle 4 vertikal).

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	9	44	265	1854	14833	133496	1334961
1	1	0	3	8	45	264	1855	14832	133497	1334960
2		1	0	6	20	135	924	7420	66744	667485
3			1	0	10	40	315	2464	22260	222480
4				1	0	15	70	630	5544	55650
5					1	0	21	112	1134	11088
6						1	0	28	168	1890
7							1	0	36	240
8								1	0	45
9									1	0
10										1
Summe	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3628800

Tabelle 4

3.) die Wahrscheinlichkeiten für die 7 Gewinnklassen

Mit den unter 2.) erhaltenen Treffer-Verteilungen ist es einfach, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Man dividiert die Treffer jeder Gewinnklasse durch die Gesamtzahl der Anordnungen:

Gewinnklasse	0	1	2	3	4	5	6
Wahrscheinlichkeit	0,3681	0,3667	0,1875	0,0556	0,0208	0,0000	0,0014

4.) Gewinn in Prozent des Einsatzes

Auch diese Frage ist leicht zu beantworten. Man kann sich die Überlegung am Beispiel von 720 Mitspielern mit je einem Einsatz von einer Einheit veranschaulichen. Ein Spieler, der in der Gewinnklasse 0 landet, muss sich das Siebtel aller Einnahmen mit 265 anderen Mitspieler teilen. In der Gewinnklasse 1 muss er sich den selben Betrag mit 264 Mitspielern teilen, usw.

Gewinnklasse	0	1	2	3	4	5	6
Gewinn in % des Einsatzes	38,8140	38,9610	76,1905	257,1429	685,7143	-	10285,7143

5.) der Gewinn der Lottogesellschaft

Da der Anteil der Gewinnklasse 5 an keinen Spieler ausgezahlt werden muss, ist dieser Teil der Gewinn der Lottogesellschaft: $$\rand{\text{Gewinn der Lottogesellschaft}= 1/7\cdot 100\%=14,2857\text{ % der Spieleinnahmen}}$$

Kurzbewertung dieser Information:
sehr gut	gut	befriedigend
ausreichend	mangelhaft	ungenügend