1.) Voraussetzungen
Gegeben sind die drei Seiten eines imaginären ebenen Dreiecks:
$$
a=1 \\
b=3 \\
c=5
$$
Gesucht sind die drei Winkel des Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ sowie die Fläche $A$.
2.) der Kosinussatz
In jedem ebenen Dreieck gilt der Kosinussatz:
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma \\
b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\beta \\
a^2=c^2+b^2-2cb\cdot\cos\alpha
$$
und nach den Winkeln aufgelöst und Werte eingesetzt:
$$
\alpha = \arccos\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2cb}\right)= \arccos(1,1) \\
\beta = \arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)= \arccos(1,7) \\
\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)= \arccos(-2,5)
$$
Ein Argument $x$ bei $\arccos(x)$, mit der Eigenschaft $|x|>1$ führt zu keinem reellen Winkel.
Das war zu erwarten denn das Dreieck ist ja auch nicht real.
Die Berechnung kann aber trotzdem erfolgen, wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet.
Das wird im Folgenden durch den Wechsel von $x$ nach $z$ symbolisiert.
$$
\varphi=\arccos(z) \\
\cos \varphi=z=\frac{e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}}2 \\
e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}=2z \\
e^{2i \varphi}+1=2z\cdot e^{i \varphi}
$$
Durch Substitution $y=e^{i \varphi}$ ergibt sich eine quadratische Gleichung:
$$
y^2-2zy+1=0 \\
y^2-2zy+z^2=z^2-1 \\
(y-z)^2=z^2-1 \\
y=\pm \sqrt{z^2-1}+z \\
e^{i \varphi}=\pm \sqrt{z^2-1}+z \\
i \varphi=\ln(z\pm\sqrt{z^2-1}) \\
\varphi=-i\ln(z\pm\sqrt{z^2-1})
$$
Dass es zwei Lösungen für $\varphi$ gibt verwundert nicht, wenn man sich klarmacht, dass es nur wechselnde Vorzeichen für $\varphi$ bedeutet,
denn $z+\sqrt{z^2-1}$ ist der Kehrwert von $z-\sqrt{z^2-1}$ und dabei wechselt der Logarithmus sein Vorzeichen.
Es reicht also, für $\varphi$ nur das positive Vorzeichen als Lösung zu betrachten und dazu muss die Wurzel negativ gewählt werden.
Eine letzte Formel ist noch erforderlich für negative Argumente von $\arccos$:
$$
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)
$$
Nun sind alle Formeln vorhanden, um die gesuchten Winkel auszurechnen:
$$\rand{\begin{align}
\alpha = \arccos(1,1)=0,4435682544i \\
\beta = \arccos(1,7)=1,1232309826i \\
\gamma = \arccos(-2,5)=π-1,5667992370i\end{align}}$$
Die Summe der drei Winkel ist auch in einem imaginären Dreieck
$$
\text{Winkelsumme}=\alpha+\beta+\gamma=\pi=180°
$$
3.) die "normale" Flächenformel
Die Fläche eines ebenen Dreiecks berechnet sich aus
$$
A=\frac{\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}}2
$$
Als Grundseite kann jede der drei Seiten angenommen werden.
Nehmen wir die Seite a:
$$
A=\frac{a\cdot h_a}2=\frac{a\cdot b\cdot \sin \gamma}2
$$
Mit
$$
\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}=\sqrt{-5,25}=2,2912878475i
$$
ergibt sich
$$\rand{
A=\frac{a\cdot b}2 \cdot \sqrt{1-\cos^2\gamma}=3,4369317712i
}$$
4.) der Satz des Heron
Auch ohne Kenntnis der Winkel lässt sich die Fläche berechnen.
Der Satz von Heron ist eine Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche aus den drei Seiten:
$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
mit
$$
s=\frac{a+b+c}2
$$
Nach Einsetzen der Werte ergibt sich ebenfalls
$$\rand{
A=\sqrt{-11,8125}=3,4369317712i
}$$
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