Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Mai 2017

Mathematik-Fragen

1.) grundsätzliche Überlegungen

Die Regeln sind einfach, das Zubehör übersichtlich und die Objekte (vier Zahlen) spartanisch. Bevor man sich in die Problematik vertieft, würde man kaum glauben weit über $n=10$ zu kommen. Klar sind viel größere Zahlen machbar aber die Lücken zu füllen fällt schwer. Wer es nicht selbst versucht hat wird wohl nicht die zur Lösung notwendige Vielfalt an Konstrukten sich vorstellen können. Die Begrenzung liegt eindeutig in der geringen Anzahl der Zahlen, nicht so sehr am Zahlenwert und den knappen Funktionen.
Der Anfänger hat jedoch auch noch das Problem, $10er$ unterzubringen, die er gar nicht braucht, wie z.B. bei $30=10+10+10$. Das hat der fortgeschrittene Anfänger aber bald überwunden denn $$\sqrt{10\cdot10}=sqrt(10*10)=10 \tag{0}\label{0}$$ zeigt immer einen Weg, eine weitere nicht benötigte $10$ loszuwerden: man ersetzt einfach eine vorhandene $10$ durch den Wurzelausdruck mit zwei $10er$, also $30=10+10+sqrt(10*10)$.
Anfangs wird man bei jeder angestrebten Zahl einfach drauflos probieren, aber schon bald merkt man, dass es hilfreiche Konstruktionen gibt, die gleich eine ganze Vielfalt von neuen Lösungen erzeugen.

2.) Aufbau von Bausteinen

Eine weitreichende Konstruktion ist $$a_2\cdot 10_1\pm b_1\tag{1}\label{1}$$ wobei der Index sagt, wie viele $10er$ jeweils benutzt werden müssen. Die Summe der Indizes für eine Lösungszahl muss immer vier sein. Wenn man es also schafft, ganze Zahlen $a$ und $b$ mit den vorgegebenen Regeln und Funktionen und mit der richtigen Anzahl von $10er$ zu konstruieren, dann kommt man schon ein gutes Stück voran.

Die einzige Methode, Zahlen kleiner als $10$ zu bekommen ist das Wurzelziehen. Hier sind Beispiele in unterschiedlicher Schreibweise. $$\begin{align} \sqrt{10} & =sqrt(10) & =3.1622776601684\tag{2}\label{2} \\ \sqrt{\sqrt{10}} & =sqrt(sqrt(10)) & =1.7782794100389\tag{3}\label{3} \\ \sqrt{10+10} & =sqrt(10+10) & =4.4721359549996\tag{4} \\ \sqrt{\sqrt{10+10}} & =sqrt(sqrt(10+10)) & =2.1147425268811\tag{5} \end{align}$$ Für den Anfang kommt man schon damit aus. Aus $\eqref{2}$ können die ganzen Zahlen $3$ und $4$ durch Ab- und Aufrunden hergestellt werden. Genauso werden aus $\eqref{3}$ die ganzen Zahlen $1$ und $2$ gemacht. Eine $0$ oder $5$ kann mit nur einer $10$ definitiv nicht hergestellt werden. Das ist der einzige Haken an der Formel $\eqref{1}$.

Wert	a2-Konstrukt	b1-Konstrukt
0	10-10
1	10/10	floor(sqrt(sqrt(10)))
2	floor(sqrt(sqrt(10+10)))	ceil(sqrt(sqrt(10)))
3	ceil(sqrt(sqrt(10+10)))	floor(sqrt(10))
4	floor(sqrt(10+10))	ceil(sqrt(10))
5	ceil(sqrt(10+10))

Tabelle 1

Mit Ausnahme aller auf eine $5$ endende Zahlen sind nun mit der Formel $\eqref{1}$ die Zahlen von $0$ bis $54$ sofort zu bilden. Für Zahlen, die auf eine $0$ enden, muss nur statt einer $b_1$-Zahl die überflüssige $10$ nach Gleichung $\eqref{0}$ untergebracht werden.

3.) regelmäßige Lückenfüller

Wie kann man nun die fehlenden Zahlen $x\cdot 10+5$ aufbauen? Der einfachste Weg ist, die Zahl als Produkt $(2x+1)\cdot 5$ aufzufassen. Dazu benutzt man ungerade Zahlen aus den $a_2$-Konstrukten multipliziert mit $5_2$. $$\sand{\begin{align} 5_2\cdot 1_2& =ceil(sqrt(10+10))*10/10 & = 5 \\ 5_2\cdot 3_2& =ceil(sqrt(10+10))*ceil(sqrt(sqrt(10+10)))& =15 \\ 5_2\cdot 5_2& =ceil(sqrt(10+10))*ceil(sqrt(10+10))& =25 \end{align}}\tag{6}$$ Wichtig ist nun, die Zahlenreihe in den $a_2$-Konstrukten über $5$ hinaus weiter zu führen. Dazu bietet sich folgendes an: $$\sand{\begin{align} 10_1-4_1& =6_2 \\ 10_1-3_1& =7_2 \\ 10_1-2_1& =8_2 \\ 10_1-1_1& =9_2 \\ sqrt(10_1*10_1)& =10_2 \\ 10_1+1_1& =11_2 \\ 10_1+2_1& =12_2 \\ 10_1+3_1& =13_2 \\ 10_1+4_1& =14_2 \\ \end{align}}\tag{7}$$ Auf diese Weise sind bereits alle Zahlen von $0$ bis $74$ nur mit den Konstrukten in Tabelle 1 zu schaffen. Wer hätte das gedacht?

4.) es geht noch weiter

Wie lässt sich die $a_2$-Zahlenfolge weiterführen und bis wohin geht das maximal?

Fangen wir mit den größten Zahlen an die mit zwei $10er$ machbar sind: $$\sand{\begin{align} 10_1*10_1& =100_2 \\ 10_1*4_1& =40_2 \\ ceil(sqrt(10)*10)& =32_2 \\ floor(sqrt(10)*10)& =31_2 \\ 10_1*3_1& =30_2 \\ 10_1+10_1& =20_2 \\ \end{align}}\tag{8}$$ Zwischen diesen Zahlen gibt es keine weiteren. Aber kann man vielleicht die Lücke zwischen $14_2$ und $20_2$ schließen? Leider nur zum Teil. $17_2$ und $18_2$ sind leicht aus $\eqref{3}$ zu gewinnen. Eine vergleichbare Möglichkeit gibt es für $19$ nicht. Da für Zahlen im Bereich von $10$ bis $19$ mindestens eine $10$ als Summand oder Faktor erforderlich ist, bliebe nur eine weitere $10$ für die Konstruktion einer $9$ oder einer $1,9$. Beides geht nicht. Aber die Lücke zwischen $14_2$ und $17_2$ lässt sich leicht schließen. $$\sand{\begin{align} ceil(10_1*sqrt(2_1))& =15_2 \\ 4_1*4_1& =16_2 \\ floor((sqrt(sqrt(10)))*10)& =17_2 \\ ceil((sqrt(sqrt(10)))*10)& =18_2 \\ \end{align}}\tag{9}$$ Damit sind alle möglichen ganzen Zahlen mit zwei $10er$ vollständig gelistet und schon wieder ist eine Erweiterung der Zahlenfolge bis auf $94$ ohne Unterbrechung erreicht.

5.) kreative Lückenfüller

Wäre nicht das Problem mit den Zahlen, die auf $5$ enden, so könnte bereits die Folge bis $184$ aus den Bausteinen aufgebaut werden. Man muss sich also um die $5er$-Lücken kümmern. Das werden nun keine systematischen Lösungen aber zum größten Teil können bereits vorhandene Zahlen-Konstrukte verwendet werden. $$\sand{\begin{align} 100_2-5_2& =95 \\ 100_2+5_2& =105 \\ 100_2+15_2& =115 \\ 31_2*4_1+1_1& =125 \\ 15_2*9_2& =135 \\ ceil((sqrt(20_2)+10_1)*10_1)& =145 \\ 5_2*31_2& =155 \\ 15_2*11_2& =165 \\ ceil(sqrt(sqrt(10_1))*100_2)-3_1& =175 \\ \end{align}}\tag{10}$$ Damit ist die $184$ tatsächlich erreicht. Ab jetzt wird es noch schwieriger weil die ganzzahlige Formel $\eqref{1}$ nicht mehr reicht.

6.) ein neues Land: hier beginnt der wilde Westen

Das Umfeld von $200$ lässt sich noch nach altem Muster aufbauen: $$\sand{\begin{align} 15_2*13_2& =195 \\ 20_2*10_1-4_1& =196 \\ 20_2*10_1-3_1& =197 \\ 20_2*10_1-2_1& =198 \\ 20_2*10_1-1_1& =199 \\ 20_2*10_2& =200 \\ 20_2*10_1+1_1& =201 \\ 20_2*10_1+2_1& =202 \\ 20_2*10_1+3_1& =203 \\ 20_2*10_1+4_1& =204 \\ \end{align}}\tag{11}$$ Aber dazwischen fehlen noch zehn Zahlen-Konstrukte (185 bis 194).

Die $185$ ist schon etwas abenteuerlich, und dafür gibt es sogar zwei Beispiele: $$\sand{\begin{align} floor(10*(10+10-sqrt(ceil(sqrt(sqrt(10))))))=185 \\ floor(10*10* sqrt(sqrt(10)) * sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(ceil(sqrt(sqrt(10))))))))=185 \end{align}}\tag{12}\label{12}$$ Um bei so vielen Wurzel nicht die Übersicht zu verlieren, will ich hier eine neue Kurzschrift einführen. In der Mathematik wird die Wurzel auch als Exponent geschrieben: $$\begin{align} \sqrt{x} & =x^{{(\frac12)}^1} \\ \sqrt{\sqrt{x}} & =x^{{(\frac12)}^2} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} & =x^{{(\frac12)}^3} \\ \end{align}\tag{13}$$ Ich verzichte in dieser Dokumentation auf die Niederschrift des immer gleichbleibenden Teils $(\frac12)$ im Exponent und schreibe $\eqref{12}$ kurz: $$\sand{\begin{align} floor(10_1*(20_2-2_1\#1)) & =185 \\ floor(100_2*10_1\#2*2_1\#4) & =185 \end{align}}\tag{14}\label{14}$$ So steht hinter der Basis ein Nummernzeichen gefolgt von der Anzahl der nacheinander auszuführenden Wurzeln.

Der Aufbau von $185$ in der Kurzschreibweise $\eqref{14}$ lässt aber neue Prinzipien erkennen. Dieses Fenster tut sich deshalb auf, weil die gesuchten Zahlen im Bereich von $200$ liegen. Zwei denkbare Konstruktion bieten sich an: $$\begin{align} 10_1\cdot (20_2 \pm c_1)\tag{15a}\label{15a} \\ 100_2\cdot d_2\tag{15b}\label{15b} \end{align}$$ Dabei ist $c_1$ und $d_2$ im Allgemeinen nicht ganzzahlig. Deshalb muss das Gebilde am Ende gerundet werden. Der Vorteil: man erhält zwei Ergebnisse, jeweils eins für die Abrundung und die Aufrundung.

Hier folgen nun einige neue fortlaufende Ergebnisse nach dem Muster von $\eqref{15a}$: $$\sand{\begin{align} floor(10_1*(20_2-10_1\#3)) & =186 \\ ceil(10_1*(20_2-10_1\#3)) & =187 \\ floor(10_1*(20_2-10_1\#4)) & =188 \\ ceil(10_1*(20_2-10_1\#4)) & =189 \\ \end{align}}\tag{16}\label{16}$$ und hier, neben zwei ganzzahligen Produkten, einige neue fortlaufende Ergebnisse nach dem Muster von $\eqref{15b}$: $$\sand{\begin{align} 10_1*(20_2-1_1) & =190 \\ ceil(100_2*(3_1-2_1\#3)) & =191 \\ 16_2*12_2 & =192 \\ floor(100_2*14_2\#2) & =193 \\ ceil(100_2*14_2\#2) & =194 \\ \end{align}}\tag{17}$$ Damit ist die Lücke wieder mal geschlossen und wir sind bei $204$!

7.) die Prärie: ein weites Zahlenfeld

Die Suche nach passenden Konstrukten für die Zahl $d_2$ aus $\eqref{15b}$ sieht so aus: $$\begin{align} d_2 & =x_1\#n+y_1\#m\tag{18a}\label{18a} \\ d_2 & =x_1\#n-y_1\#m\tag{18b} \\ d_2 & =x_1\#n*y_1\#m\tag{18c} \\ d_2 & =x_1\#n/y_1\#m\tag{18d} \\ \end{align}$$ Das erscheint simpel, aber was soll für die unbekannten Zahlen $x_1$, $y_1$, $m$ und $n$ eingesetzt werden?
Es gibt nur drei Möglichkeiten für $x_1$ und $y_1$, nämlich die Zahlen $3_1$, $4_1$ und $10_1$. Mit Wiederholung aber ohne Vertauschung gibt es nur 6 Kombinationen. Wenn man $n$ und $m$ von 1 bis 8 durchlaufen lässt und zunächst nur $\eqref{18a}$ benutzt, erhält man ein weites Zahlenfeld im richtigen Bereich und man kann sich sofort mit den gesuchten Zahlen bedienen:

$$\sand{\begin{align} floor(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#7)) & =205 \\ ceil(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#7)) & =206 \\ floor(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#6)) & =207 \\ ceil(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#6)) & =208 \\ floor(100_2 * (10_1\#7 + 10_1\#5)) & =209 \\ ceil(100_2 * (10_1\#7 + 10_1\#5)) & =210 \\ floor(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#5)) & =211 \\ ceil(100_2 * (10_1\#6 + 10_1\#5)) & =212 \\ floor(100_2 * ( 4_1\#5 + 4_1\#4)) & =213 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#5 + 4_1\#4)) & =214 \\ floor(100_2 * (10_1\#8 + 3_1\#3)) & =215 \\ ceil(100_2 * (10_1\#8 + 3_1\#3)) & =216 \\ floor(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#7)) & =217 \\ ceil(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#7)) & =218 \\ floor(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#6)) & =219 \\ ceil(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#6)) & =220 \\ floor(100_2 * ( 3_1\#3 + 3_1\#4)) & =221 \\ ceil(100_2 * ( 3_1\#3 + 3_1\#4)) & =222 \\ floor(100_2 * ( 4_1\#5 + 4_1\#3)) & =223 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#5 + 4_1\#3)) & =224 \\ 15_2*15_2 & =225 \\ floor(100_2 * (10_1\#5 + 4_1\#3)) & =226 \\ ceil(100_2 * (10_1\#5 + 4_1\#3)) & =227 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#4 + 4_1\#3)) & =228 \\ floor(100_2 * ( 3_1\#3 + 3_1\#3)) & =229 \\ floor(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#4)) & =230 \\ ceil(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#4)) & =231 \\ floor(100_2 * (10_1\#8 + 3_1\#2)) & =232 \\ ceil(100_2 * (10_1\#8 + 3_1\#2)) & =233 \\ floor(100_2 * (10_1\#4 + 4_1\#3)) & =234 \\ ceil(100_2 * (10_1\#4 + 4_1\#3)) & =235 \\ floor(100_2 * ( 4_1\#5 + 3_1\#2)) & =236 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#5 + 3_1\#2)) & =237 \\ floor(100_2 * ( 3_1\#4 + 3_1\#2)) & =238 \\ ceil(100_2 * ( 3_1\#4 + 3_1\#2)) & =239 \\ floor(100_2 * (10_1\#5 + 10_1\#3)) & =240 \\ ceil(100_2 * (10_1\#5 + 10_1\#3)) & =241 \\ floor(100_2 * (10_1\#3 + 4_1\#4)) & =242 \\ ceil(100_2 * (10_1\#3 + 4_1\#4)) & =243 \\ floor(100_2 * ( 4_1\#2 + 3_1\#5)) & =244 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#2 + 3_1\#5)) & =245 \\ floor(100_2 * ( 3_1\#3 + 3_1\#2)) & =246 \\ ceil(100_2 * ( 3_1\#3 + 3_1\#2)) & =247 \\ floor(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#3)) & =248 \\ \end{align}}\tag{17}$$ $$\rand{\begin{align} ceil(100_2 * (10_1\#4 + 10_1\#3)) & =249 \\ floor(100_2 * ( 4_1\#3 + 3_1\#2)) & =250 \\ ceil(100_2 * ( 4_1\#3 + 3_1\#2)) & =251 \\ floor(100_2 * (10_1\#3 + 4_1\#3)) & =252 \\ ceil(100_2 * (10_1\#3 + 4_1\#3)) & =253 \\ \end{align}}\tag{Antwort auf Frage 2}$$ Damit endet der Goldrausch. Das (von mir gefundene) größte $n$ ist $253$.
Wer noch ohne Unterbrechungen weiter kommt sollte sich unbedingt melden.

Hier gibt es einen Spezialrechner, der neben der Wurzelfunktion $sqrt()$ auch die Kurzschreibweise mit $\#$ akzeptiert.

Eine vollständige Liste aller Zahlenkonstrukte von 0 bis 253 in der Kurzschreibweise findet sich hier.

8.) Frage 3: die größten Zahlen

Ausdruck	Wert
10*10*10*10	10000
10*10*10*ceil(sqrt(10))	4000
10*10*ceil(10*sqrt(10))	3200
10*ceil(10*10*sqrt(10))	3170
ceil(10*10*10*sqrt(10))	3163
floor(10*10*10*sqrt(10))	3162
10*floor(10*10*sqrt(10))	3160
10*10*floor(10*sqrt(10))	3100
10*10*10*floor(sqrt(10))	3000

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Kurzbewertung dieser Information:
sehr gut	gut	befriedigend
ausreichend	mangelhaft	ungenügend