1.) Auswahl von potentiellen Zeitpunkten
Man startet mit der Zeigerstellung von 00:00:00 Uhr. Zu diesem Zeitpunkt sind der Stunden- und Minutenzeiger genau übereinander. Im Laufe von 12 Stunden wird eine solche Übereinstimmung in regelmäßigen zeitlichen Abständen 11 mal erfolgen. Also ist der zeitliche Abstand $$\sand{Intervall = \frac{12}{11} Stunden = 1\; Stunde\quad 5\; Minuten\quad 27,\overline{27}\; Sekunden}$$ Teilt man jedes Intervall in drei gleiche Teile so erhält man folgende Zeitpunkte:| Intervall Punkt |
Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde |
Winkel [°] Minute |
Winkel [°] Sekunde |
Winkelabweichung [°] Sekundenzeiger |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | 0,0000 | 00:00:00,00 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 (-0) |
| $\frac{1}{3}$ | 0,0152 | 00:21:49,09 | 10,9091 | 130,9091 | 294,5455 | 43,6364 (4) |
| $\frac{2}{3}$ | 0,0303 | 00:43:38,18 | 21,8182 | 261,8182 | 229,0909 | 87,2727 (8) |
| $1$ | 0,0455 | 01:05:27,27 | 32,7273 | 32,7273 | 163,6364 | 130,9091 (12) |
| $1$$\frac{1}{3}$ | 0,0606 | 01:27:16,36 | 43,6364 | 163,6364 | 98,1818 | 174,5455 (16) |
| $1$$\frac{2}{3}$ | 0,0758 | 01:49:05,45 | 54,5455 | 294,5455 | 32,7273 | -141,8182 (-13) |
| $2$ | 0,0909 | 02:10:54,55 | 65,4545 | 65,4545 | 327,2727 | -98,1818 (-9) |
| $2$$\frac{1}{3}$ | 0,1061 | 02:32:43,64 | 76,3636 | 196,3636 | 261,8182 | -54,5455 (-5) |
| $2$$\frac{2}{3}$ | 0,1212 | 02:54:32,73 | 87,2727 | 327,2727 | 196,3636 | -10,9091 (-1) |
| $3$ | 0,1364 | 03:16:21,82 | 98,1818 | 98,1818 | 130,9091 | 32,7273 (3) |
| $3$$\frac{1}{3}$ | 0,1515 | 03:38:10,91 | 109,0909 | 229,0909 | 65,4545 | 76,3636 (7) |
| $3$$\frac{2}{3}$ | 0,1667 | 04:00:00,00 | 120,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 120,0000 (11) |
| $4$ | 0,1818 | 04:21:49,09 | 130,9091 | 130,9091 | 294,5455 | 163,6364 (15) |
| $4$$\frac{1}{3}$ | 0,1970 | 04:43:38,18 | 141,8182 | 261,8182 | 229,0909 | -152,7273 (-14) |
| $4$$\frac{2}{3}$ | 0,2121 | 05:05:27,27 | 152,7273 | 32,7273 | 163,6364 | -109,0909 (-10) |
| $5$ | 0,2273 | 05:27:16,36 | 163,6364 | 163,6364 | 98,1818 | -65,4545 (-6) |
| $5$$\frac{1}{3}$ | 0,2424 | 05:49:05,45 | 174,5455 | 294,5455 | 32,7273 | -21,8182 (-2) |
| $5$$\frac{2}{3}$ | 0,2576 | 06:10:54,55 | 185,4545 | 65,4545 | 327,2727 | 21,8182 (2) |
| $6$ | 0,2727 | 06:32:43,64 | 196,3636 | 196,3636 | 261,8182 | 65,4545 (6) |
| $6$$\frac{1}{3}$ | 0,2879 | 06:54:32,73 | 207,2727 | 327,2727 | 196,3636 | 109,0909 (10) |
| $6$$\frac{2}{3}$ | 0,3030 | 07:16:21,82 | 218,1818 | 98,1818 | 130,9091 | 152,7273 (14) |
| $7$ | 0,3182 | 07:38:10,91 | 229,0909 | 229,0909 | 65,4545 | -163,6364 (-15) |
| $7$$\frac{1}{3}$ | 0,3333 | 08:00:00,00 | 240,0000 | 0,0000 | 0,0000 | -120,0000 (-11) |
| $7$$\frac{2}{3}$ | 0,3485 | 08:21:49,09 | 250,9091 | 130,9091 | 294,5455 | -76,3636 (-7) |
| $8$ | 0,3636 | 08:43:38,18 | 261,8182 | 261,8182 | 229,0909 | -32,7273 (-3) |
| $8$$\frac{1}{3}$ | 0,3788 | 09:05:27,27 | 272,7273 | 32,7273 | 163,6364 | 10,9091 (1) |
| $8$$\frac{2}{3}$ | 0,3939 | 09:27:16,36 | 283,6364 | 163,6364 | 98,1818 | 54,5455 (5) |
| $9$ | 0,4091 | 09:49:05,45 | 294,5455 | 294,5455 | 32,7273 | 98,1818 (9) |
| $9$$\frac{1}{3}$ | 0,4242 | 10:10:54,55 | 305,4545 | 65,4545 | 327,2727 | 141,8182 (13) |
| $9$$\frac{2}{3}$ | 0,4394 | 10:32:43,64 | 316,3636 | 196,3636 | 261,8182 | -174,5455 (-16) |
| $10$ | 0,4545 | 10:54:32,73 | 327,2727 | 327,2727 | 196,3636 | -130,9091 (-12) |
| $10$$\frac{1}{3}$ | 0,4697 | 11:16:21,82 | 338,1818 | 98,1818 | 130,9091 | -87,2727 (-8) |
| $10$$\frac{2}{3}$ | 0,4848 | 11:38:10,91 | 349,0909 | 229,0909 | 65,4545 | -43,6364 (-4) |
| $11$ | 0,5000 | 12:00:00,00 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 (-0) |
Die Winkelstellungen der Zeiger werden im Uhrzeigersinn beginnend bei 12 Uhr in Grad [°] angegeben. Die Berechnung ist einfach aus dem Bruchteil des Tages durchzuführen. Z.B. läuft der Stundenzeiger an einem Tag zwei Runden, also 720°. $$\sand{\begin{align} Winkel\;Stundenzeiger &= 720°\cdot Bruchteil\;des\;Tages\\ Winkel\;Minutenzeiger &= 720°\cdot 12\cdot Bruchteil\;des\;Tages\\ Winkel\;Sekundenzeiger &= 720°\cdot 12\cdot 60\cdot Bruchteil\;des\;Tages\end{align}}$$ Winkel, die größer als 360° sind, werden auf einen Bereich unter 360° reduziert.
Die grau markierten Zeilen sind guten Kandidaten für identische Winkelstellungen, weil sie ja ganzzahlige Intervall-Punkte haben und demnach Stunden- und Minutenzeiger mit gleicher Winkelstellung aufweisen. Die nicht immer gleiche Winkelstellung des Sekundenzeigers wird in der Winkelabweichung ausgegeben. Positive Abweichungen bedeuten, dass der Sekundenzeiger zu weit gelaufen ist.
Die übrigen Zeilen sind guten Kandidaten für eine Sternstellung der drei Zeiger. Sicher sind die Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger exakt 120°. Auch hier gibt es für den Sekundenzeiger positive und negative Abweichungen von der idealen Sternkonfiguration.
Es fällt auf, das alle Winkelabweichungen des Sekundenzeigers Vielfache von $10,\overline{90}° = \frac{120°}{11}$ sind. Diese Vielfache sind bei der Winkelabweichung zusätzlich in Klammern angegeben. Bei aufeinander folgenden Zeilen wachsen die Vielfachen um $4$. Wird der Wert von $\frac{33}2$ überschritten, so ist 33 abzuziehen. Der Grund dafür ist leicht einzusehen. Wenn die Abweichung $\frac{120°}{11}\cdot\frac{33}2=180°$ überschritten wird ist der Weg kürzer, wenn man den Ergänzungswinkel zu 360° nimmt, den Sekundenzeiger also in der anderen Richtung annähert.
2.) Verbesserung der Zeitpunkte
Natürlich sind die in der obigen Liste aufgeführten Zeitpunkte bei weitem noch nicht beste Lösungen, wenn man mal von dem Startwert in der ersten Zeile absieht. In allen anderen Fällen steht der Sekundenzeiger relativ weit von seiner gewünschten Position entfernt. Bessere Lösungen erhält man, wenn man den Sekundenzeiger so weit verdreht, dass er den Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger halbiert. Dabei gilt für ganzzahlige Intervall-Punkten der sehr kleine Winkel nahe bei 0°, bei den anderen Intervall-Punkten der große Winkel nahe bei 240°. Dass die Winkel nicht genau 0° bzw. 240° sind liegt natürlich daran, dass durch die Drehung des Sekundenzeigers auch die beiden anderen Zeiger wenn auch sehr wenig, aber unterschiedlich viel sich bewegen. Die beste Näherung unter den obigen Kandidaten wird also die sein, bei der der Sekundenzeiger möglichst wenig gedreht werden muss. Aus der obigen Liste ist das abzulesen: für ganzzahlige Intervall-Punkte ist das bei $3$ und $8$, bei den anderen bei $2\frac23$ und $8\frac13$. Alle anderen Näherungen sind schlechter, weil der Sekundenzeiger mehr gedreht werden muss, und fallen daher für die Rätsellösung aus.Wenn man nun glaubt, dass damit das Ziel einer besten Näherung mit dem kleinsten quadratischen Mittel (Root Mean Square) schon erreicht sei, hat sich getäuscht. Man ist sicherlich schon sehr nahe dran, aber nicht die Position auf dem halben Winkel ist optimal sondern ein bisschen näher zum Stundenzeiger ist besser.
Der Quadratische Mittelwert berechnet sich zu: $$\sand{RMS=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}n}}$$ wobei in diesem Fall die Werte von x1, x2 und x3 sich berechnen aus dem Betrag der drei Winkeldifferenzen der Zeiger zueinander vermindert um den Zielwert, in diesem Fall $0°$ oder $120°$ Ich mache mir das Leben leicht, indem ich ausprobiere, wo der Punkt mit dem kleinsten quadratischen Mittel sich befindet. Die folgenden Tabellen zeigen das Ergebnis der Suche in der Nähe des Intervall-Zeitpunktes $3$:
| Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde Minute Sekunde |
RMS [°] |
|---|---|---|---|
| 0,136299941277326169 | 03:16:16,3149263609810016 | 98,13595771967484168 97,63149263609810016 97,88955816588600960 |
0,3567424740248623356475881 |
| 0,136299941277326170 | 03:16:16,3149263609810880 | 98,13595771967484240 97,63149263609810880 97,88955816588652800 |
0,3567424740248623356475858 |
| 0,136299941277326171 | 03:16:16,3149263609811744 | 98,13595771967484312 97,63149263609811744 97,88955816588704640 |
0,3567424740248623356475840 |
| 0,136299941277326172 | 03:16:16,3149263609812608 | 98,13595771967484384 97,63149263609812608 97,88955816588756480 |
0,3567424740248623356475829 |
| 0,136299941277326173 | 03:16:16,3149263609813472 | 98,13595771967484456 97,63149263609813472 97,88955816588808320 |
0,3567424740248623356475821 |
| 0,136299941277326174 | 03:16:16,3149263609814336 | 98,13595771967484528 97,63149263609814336 97,88955816588860160 |
0,3567424740248623356475819 |
| 0,136299941277326175 | 03:16:16,3149263609815200 | 98,13595771967484600 97,63149263609815200 97,88955816588912000 |
0,3567424740248623356475821 |
| 0,136299941277326176 | 03:16:16,3149263609816064 | 98,13595771967484672 97,63149263609816064 97,88955816588963840 |
0,3567424740248623356475829 |
| 0,136299941277326177 | 03:16:16,3149263609816928 | 98,13595771967484744 97,63149263609816928 97,88955816589015680 |
0,3567424740248623356475840 |
| 0,136299941277326178 | 03:16:16,3149263609817792 | 98,13595771967484816 97,63149263609817792 97,88955816589067520 |
0,3567424740248623356475857 |
| 0,136299941277326179 | 03:16:16,3149263609818656 | 98,13595771967484888 97,63149263609818656 97,88955816589119360 |
0,3567424740248623356475879 |
Der Zeitpunkt mit dem kleinsten RMS in der grüne Zeile ist also gefunden worden. Wenn man den gefundenen Dezimalbruch noch genauer berechnet erhält man $$0,13629994127732617401158348930520667828027016357898... $$ der in einen endlichen Kettenbruch verwandelt so aussieht: $$[0;7,2,1,31,1,3,10,1,1,3,1,1,1,2]=\frac{277601}{2036692}$$ Wie es zu den Zahlenwerten von Zähler und Nenner kommt, habe ich nicht weiter verfolgt. Wenn sich jemand daran macht, dies zu erklären, wäre ich an dem Ergebnis interessiert.
Eine gleichartige aufwendige Suche für einen Zeitpunkt in der Nähe vom Intervall-Punkt $8$ ist nicht erforderlich. Zur Bestimmung des zugehörigen Bruchteil des Tages reicht es, die Symmetrie der Werte in der ersten Tabelle oben anzusehen. Daraus folgt: $$erster\;Wert\;(siehe\;grüne\;Zeile\;oben)=0,136299941277326174\\ zweiter\;Wert=0,5 - erster\;Wert=0,363700058722673826$$ Auch die gleichartigen Zeigerstellungen jedoch in der 2. Tageshälfte sind leicht zu berechnen: $$dritter\;Wert=0,5 + erster\;Wert=0,636299941277326174\\ vierter\;Wert=1 - erster\;Wert=0,863700058722673826$$ Damit sind alle Zeiten als Bruchteil des Tages für die beste Annäherung an eine Stellung mit übereinander liegenden Zeigern bestimmt.
Nun muss das gleiche noch für die Sternstellung der Zeiger erfolgen, beginnend mit der Optimierung des Intervall-Punktes $2\frac23$:
| Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde Minute Sekunde |
RMS [°] |
|---|---|---|---|
| 0,121233352907557937 | 02:54:34,5616912130057568 | 87,28801409344171464 327,45616912130057568 207,37014727803454080 |
0,1189141580082874452158788 |
| 0,121233352907557938 | 02:54:34,5616912130058432 | 87,28801409344171536 327,45616912130058432 207,37014727803505920 |
0,1189141580082874452158721 |
| 0,121233352907557939 | 02:54:34,5616912130059296 | 87,28801409344171608 327,45616912130059296 207,37014727803557760 |
0,1189141580082874452158670 |
| 0,121233352907557940 | 02:54:34,5616912130060160 | 87,28801409344171680 327,45616912130060160 207,37014727803609600 |
0,1189141580082874452158632 |
| 0,121233352907557941 | 02:54:34,5616912130061024 | 87,28801409344171752 327,45616912130061024 207,37014727803661440 |
0,1189141580082874452158611 |
| 0,121233352907557942 | 02:54:34,5616912130061888 | 87,28801409344171824 327,45616912130061888 207,37014727803713280 |
0,1189141580082874452158603 |
| 0,121233352907557943 | 02:54:34,5616912130062752 | 87,28801409344171896 327,45616912130062752 207,37014727803765120 |
0,1189141580082874452158611 |
| 0,121233352907557944 | 02:54:34,5616912130063616 | 87,28801409344171968 327,45616912130063616 207,37014727803816960 |
0,1189141580082874452158632 |
| 0,121233352907557945 | 02:54:34,5616912130064480 | 87,28801409344172040 327,45616912130064480 207,37014727803868800 |
0,1189141580082874452158670 |
| 0,121233352907557946 | 02:54:34,5616912130065344 | 87,28801409344172112 327,45616912130065344 207,37014727803920640 |
0,1189141580082874452158721 |
| 0,121233352907557947 | 02:54:34,5616912130066208 | 87,28801409344172184 327,45616912130066208 207,37014727803972480 |
0,1189141580082874452158788 |
Auch hier gibt es für den noch etwas genauer berechneten Dezimalbruch $$0,121233352907557941996138836898264440573243278807... $$ eine Kettenbruchentwicklung: $$[0;8,4,43,129,1,2,1,2]=\frac{246915}{2036692}$$
3.) Zusammenfassung der Rätsel-Lösung
Die Zeiten für genau übereinander liegende Zeiger sind 00:00:00,00000000 und 12:00:00,00000000Die Zeiten für die beste Annäherung an diese Zeigerstellung sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:
| Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde |
Winkel [°] Minute |
Winkel [°] Sekunde |
RMS [°] |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,136299941277326 | 03:16:16,31492636 | 98,1359577197 | 97,6314926361 | 97,8895581659 | 0,356742474025 |
| 0,363700058722674 | 08:43:43,68507364 | 261,8640422803 | 262,3685073639 | 262,1104418341 | 0,356742474025 |
| 0,636299941277326 | 15:16:16,31492636 | 98,1359577197 | 97,6314926361 | 97,8895581659 | 0,356742474025 |
| 0,863700058722674 | 20:43:43,68507364 | 261,8640422803 | 262,3685073639 | 262,1104418341 | 0,356742474025 |
|
|
||||
Es gibt keine Zeiten für eine exakte Sternstellung.
Die Zeiten für die beste Annäherung an diese Zeigerstellung sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:
| Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde |
Winkel [°] Minute |
Winkel [°] Sekunde |
RMS [°] |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,121233352907558 | 02:54:34,56169121 | 87,2880140934 | 327,4561691213 | 207,3701472780 | 0,118914158008 |
| 0,378766647092442 | 09:05:25,43830879 | 272,7119859066 | 32,5438308787 | 152,6298527220 | 0,118914158008 |
| 0,621233352907558 | 14:54:34,56169121 | 87,2880140934 | 327,4561691213 | 207,3701472781 | 0,118914158008 |
| 0,878766647092442 | 21:05:25,43830879 | 272,7119859066 | 32,5438308787 | 152,6298527219 | 0,118914158008 |
|
|
||||
4.) Anhang
Mit den Erkenntnissen der obigen Ergebnisse kann man die erste Tabelle der potentiellen Zeitpunkte, die ja nur erste Näherungen erbrachte, nun verbessern. Für alle Zeilen lässt sich nun die beste Näherung exakt als Bruch angeben, deren Qualität durch RMS als Vielfaches von 0,118914158008...° angegeben ist. In einigen Fällen lässt sich der Bruch kürzen, aber hier in der Tabelle sind alle Brüche mit dem einheitlichen Hauptnenner $2036692$ dargestellt.Der $Zähler$ des Bruchteils des Tages lässt sich wie folgt berechnen: $$Zähler=3\cdot Intervallpunkt\cdot 30686+\text{int}((3,99+3\cdot Intervallpunkt)/8)\cdot 1427$$
| Intervall Punkt |
Bruchteil des Tages |
Uhrzeit | Winkel [°] Stunde |
Winkel [°] Minute |
Winkel [°] Sekunde |
RMS in 0,1189...° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | 00:00:00 | $0$ | $0$ | $0$ | 0 |
| $\frac{1}{3}$ | $\frac{30686}{2036692}$ | 00:21:41$\frac{1534108}{2036692}$ | $10$$\frac{1727000}{2036692}$ | $130$$\frac{357080}{2036692}$ | $250$$\frac{1057880}{2036692}$ | 4 |
| $\frac{2}{3}$ | $\frac{61372}{2036692}$ | 00:43:23$\frac{1031524}{2036692}$ | $21$$\frac{1417308}{2036692}$ | $260$$\frac{714160}{2036692}$ | $141$$\frac{79068}{2036692}$ | 8 |
| $1$ | $\frac{92058}{2036692}$ | 01:05:05$\frac{528940}{2036692}$ | $32$$\frac{1107616}{2036692}$ | $30$$\frac{1071240}{2036692}$ | $31$$\frac{1136948}{2036692}$ | 12 |
| $1$$\frac{1}{3}$ | $\frac{122744}{2036692}$ | 01:26:47$\frac{26356}{2036692}$ | $43$$\frac{797924}{2036692}$ | $160$$\frac{1428320}{2036692}$ | $282$$\frac{158136}{2036692}$ | 16 |
| $1$$\frac{2}{3}$ | $\frac{154857}{2036692}$ | 01:49:29$\frac{615052}{2036692}$ | $54$$\frac{1515672}{2036692}$ | $296$$\frac{1894528}{2036692}$ | $175$$\frac{1653620}{2036692}$ | 13 |
| $2$ | $\frac{185543}{2036692}$ | 02:11:11$\frac{112468}{2036692}$ | $65$$\frac{1205980}{2036692}$ | $67$$\frac{214916}{2036692}$ | $66$$\frac{674808}{2036692}$ | 9 |
| $2$$\frac{1}{3}$ | $\frac{216229}{2036692}$ | 02:32:52$\frac{1646576}{2036692}$ | $76$$\frac{896288}{2036692}$ | $197$$\frac{571996}{2036692}$ | $316$$\frac{1732688}{2036692}$ | 5 |
| $2$$\frac{2}{3}$ | $\frac{246915}{2036692}$ | 02:54:34$\frac{1143992}{2036692}$ | $87$$\frac{586596}{2036692}$ | $327$$\frac{929076}{2036692}$ | $207$$\frac{753876}{2036692}$ | 1 |
| $3$ | $\frac{277601}{2036692}$ | 03:16:16$\frac{641408}{2036692}$ | $98$$\frac{276904}{2036692}$ | $97$$\frac{1286156}{2036692}$ | $97$$\frac{1811756}{2036692}$ | 3 |
| $3$$\frac{1}{3}$ | $\frac{308287}{2036692}$ | 03:37:58$\frac{138824}{2036692}$ | $108$$\frac{2003904}{2036692}$ | $227$$\frac{1643236}{2036692}$ | $348$$\frac{832944}{2036692}$ | 7 |
| $3$$\frac{2}{3}$ | $\frac{338973}{2036692}$ | 03:59:39$\frac{1672932}{2036692}$ | $119$$\frac{1694212}{2036692}$ | $357$$\frac{2000316}{2036692}$ | $238$$\frac{1890824}{2036692}$ | 11 |
| $4$ | $\frac{369659}{2036692}$ | 04:21:21$\frac{1170348}{2036692}$ | $130$$\frac{1384520}{2036692}$ | $128$$\frac{320704}{2036692}$ | $129$$\frac{912012}{2036692}$ | 15 |
| $4$$\frac{1}{3}$ | $\frac{401772}{2036692}$ | 04:44:03$\frac{1759044}{2036692}$ | $142$$\frac{65576}{2036692}$ | $264$$\frac{786912}{2036692}$ | $23$$\frac{370804}{2036692}$ | 14 |
| $4$$\frac{2}{3}$ | $\frac{432458}{2036692}$ | 05:05:45$\frac{1256460}{2036692}$ | $152$$\frac{1792576}{2036692}$ | $34$$\frac{1143992}{2036692}$ | $273$$\frac{1428684}{2036692}$ | 10 |
| $5$ | $\frac{463144}{2036692}$ | 05:27:27$\frac{753876}{2036692}$ | $163$$\frac{1482884}{2036692}$ | $164$$\frac{1501072}{2036692}$ | $164$$\frac{449872}{2036692}$ | 6 |
| $5$$\frac{1}{3}$ | $\frac{493830}{2036692}$ | 05:49:09$\frac{251292}{2036692}$ | $174$$\frac{1173192}{2036692}$ | $294$$\frac{1858152}{2036692}$ | $54$$\frac{1507752}{2036692}$ | 2 |
| $5$$\frac{2}{3}$ | $\frac{524516}{2036692}$ | 06:10:50$\frac{1785400}{2036692}$ | $185$$\frac{863500}{2036692}$ | $65$$\frac{178540}{2036692}$ | $305$$\frac{528940}{2036692}$ | 2 |
| $6$ | $\frac{555202}{2036692}$ | 06:32:32$\frac{1282816}{2036692}$ | $196$$\frac{553808}{2036692}$ | $195$$\frac{535620}{2036692}$ | $195$$\frac{1586820}{2036692}$ | 6 |
| $6$$\frac{1}{3}$ | $\frac{585888}{2036692}$ | 06:54:14$\frac{780232}{2036692}$ | $207$$\frac{244116}{2036692}$ | $325$$\frac{892700}{2036692}$ | $86$$\frac{608008}{2036692}$ | 10 |
| $6$$\frac{2}{3}$ | $\frac{616574}{2036692}$ | 07:15:56$\frac{277648}{2036692}$ | $217$$\frac{1971116}{2036692}$ | $95$$\frac{1249780}{2036692}$ | $336$$\frac{1665888}{2036692}$ | 14 |
| $7$ | $\frac{648687}{2036692}$ | 07:38:38$\frac{866344}{2036692}$ | $229$$\frac{652172}{2036692}$ | $231$$\frac{1715988}{2036692}$ | $230$$\frac{1124680}{2036692}$ | 15 |
| $7$$\frac{1}{3}$ | $\frac{679373}{2036692}$ | 08:00:20$\frac{363760}{2036692}$ | $240$$\frac{342480}{2036692}$ | $2$$\frac{36376}{2036692}$ | $121$$\frac{145868}{2036692}$ | 11 |
| $7$$\frac{2}{3}$ | $\frac{710059}{2036692}$ | 08:22:01$\frac{1897868}{2036692}$ | $251$$\frac{32788}{2036692}$ | $132$$\frac{393456}{2036692}$ | $11$$\frac{1203748}{2036692}$ | 7 |
| $8$ | $\frac{740745}{2036692}$ | 08:43:43$\frac{1395284}{2036692}$ | $261$$\frac{1759788}{2036692}$ | $262$$\frac{750536}{2036692}$ | $262$$\frac{224936}{2036692}$ | 3 |
| $8$$\frac{1}{3}$ | $\frac{771431}{2036692}$ | 09:05:25$\frac{892700}{2036692}$ | $272$$\frac{1450096}{2036692}$ | $32$$\frac{1107616}{2036692}$ | $152$$\frac{1282816}{2036692}$ | 1 |
| $8$$\frac{2}{3}$ | $\frac{802117}{2036692}$ | 09:27:07$\frac{390116}{2036692}$ | $283$$\frac{1140404}{2036692}$ | $162$$\frac{1464696}{2036692}$ | $43$$\frac{304004}{2036692}$ | 5 |
| $9$ | $\frac{832803}{2036692}$ | 09:48:48$\frac{1924224}{2036692}$ | $294$$\frac{830712}{2036692}$ | $292$$\frac{1821776}{2036692}$ | $293$$\frac{1361884}{2036692}$ | 9 |
| $9$$\frac{1}{3}$ | $\frac{863489}{2036692}$ | 10:10:30$\frac{1421640}{2036692}$ | $305$$\frac{521020}{2036692}$ | $63$$\frac{142164}{2036692}$ | $184$$\frac{383072}{2036692}$ | 13 |
| $9$$\frac{2}{3}$ | $\frac{895602}{2036692}$ | 10:33:12$\frac{2010336}{2036692}$ | $316$$\frac{1238768}{2036692}$ | $199$$\frac{608372}{2036692}$ | $77$$\frac{1878556}{2036692}$ | 16 |
| $10$ | $\frac{926288}{2036692}$ | 10:54:54$\frac{1507752}{2036692}$ | $327$$\frac{929076}{2036692}$ | $329$$\frac{965452}{2036692}$ | $328$$\frac{899744}{2036692}$ | 12 |
| $10$$\frac{1}{3}$ | $\frac{956974}{2036692}$ | 11:16:36$\frac{1005168}{2036692}$ | $338$$\frac{619384}{2036692}$ | $99$$\frac{1322532}{2036692}$ | $218$$\frac{1957624}{2036692}$ | 8 |
| $10$$\frac{2}{3}$ | $\frac{987660}{2036692}$ | 11:38:18$\frac{502584}{2036692}$ | $349$$\frac{309692}{2036692}$ | $229$$\frac{1679612}{2036692}$ | $109$$\frac{978812}{2036692}$ | 4 |
| $11$ | $\frac{1018346}{2036692}$ | 12:00:00 | $0$ | $0$ | $0$ | 0 |