Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom November 2013

Der nächste Venustransit

Die Lösung des Rätsels muss nicht über den Weg der Berechnung gehen denn es lässt sich auch ein Venustransit, der vom Mars aus beobachtet werden kann, mit verschiedenen Astro-Programmen experimentell bestimmen. Eines der gebräuchlichsten und zugleich kostenlosen Programme ist Stellarium.

Man stellt zunächst den Standort Mars ein und sucht dann über die Zeiteinstellung nach einer unteren Konjunktion von Venus mit Sonne. Wenn bei dieser engen Begegnung die Venus vor die Sonnenscheibe tritt hat man schon den gesuchten Transit, wenn nicht, geht man zur nächsten unteren Konjunktion.

Dabei hilft die sogenannte synodische Umlaufszeit, kurz Synode genannt, nach der die gleiche Anordnung der Planeten und der Sonne zueinander wieder erreicht ist. $$ \text{siderisches Marsjahr:}\quad t_{mars}=686,98\;Tage$$ $$ \text{siderisches Venusjahr:}\quad t_{venus}=224,701\;Tage$$ Der synodische Umlauf der Venus vom Mars aus betrachtet ist $$ \sand{t_{synodisch}=t_{mars}\cdot w = t_{venus}\cdot\left(w+1\right)} $$ $$ \sand{w=\frac{t_{venus}}{t_{mars}-t_{venus}} } $$ $$ \sand{t_{synodisch}=\frac{t_{mars}\;\cdot t_{venus}}{t_{mars}-t_{venus}}} $$ $$ \text{oder}\quad\sand{\frac1{t_{synodisch}}=\frac{t_{mars}-t_{venus}}{t_{mars}\;\cdot t_{venus}}=\frac1{t_{venus}}-\frac1{t_{mars}}} $$ Man kann auch die Überlegung des antiken griechischen Philosophen Zenon benutzen, dem das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte zugeschrieben wird: Hier ist die Venus mit Achilles gleichzusetzen und der Mars ist die Schildkröte. Mars hat den Vorsprung von einem siderischen Venusjahr.

$$ \sand{t_{synodisch}=t_{venus}+t_{venus}\cdot\frac{t_{venus}}{t_{mars}}+t_{venus}\cdot{\left(\frac{t_{venus}}{t_{mars}}\right)}^2+t_{venus}\cdot{\left(\frac{t_{venus}}{t_{mars}}\right)}^3+\dots} $$ also zunächst die Zeit für einen Venusumlauf. Da der Mars zwar wesentlich langsamer umläuft, aber doch nicht stehen bleibt, muss noch dieser zeitliche Anteil hinzu addiert werden, nämlich der Bruchteil der Venusumlaufzeit, der dem Verhältnis der Umlaufzeiten entspricht. Auch während dieser Zeit läuft der Mars ein wenig weiter und so ergibt sich die obenstehende unendliche Summe. Darin erkennt man die geometrische Reihe: $$ \sand{t_{synodisch}=\sum_{k=0}^\infty t_{venus}\cdot q^k=\frac{t_{venus}}{1-q}}\quad\text{mit}\quad \sand{q=\frac{t_{venus}}{t_{mars}}} $$ $$ \text{also ist}\quad\sand{t_{synodisch}=\frac{t_{mars}\;\cdot t_{venus}}{t_{mars}-t_{venus}}}\tag{1} $$ Daraus ergibt sich durch Einsetzen der Werte die synodische Umlaufszeit $$ \sand{t_{synodisch}=333,922\;Tage} $$ Daher wiederholen sich die unteren Konjunktionen in etwa alle 334 Tage und man muss dabei beobachten, ob die Venus durch die Sonnenscheibe geht. Mit etwas Geduld findet man den nächsten Venustransit, der vom Mars aus zu beobachten ist. Er wird sich am 19. August 2030 um 23:45 CT ereignen. Man kann sich mit Stellarium auf der Marsoberfläche ein schönes Plätzchen aussuchen so dass die Sonne dicht am Horizont kurz vor dem Untergang steht z.B. bei 77°N und 44°O. Diese Situation zeigt das folgende Bild:

Mit einem Teleskop wird man zur Mitte des Durchgangs das folgende Bild durch den gelben Marsstaub aufnehmen können:

mars-venustransit

Einen genauen Zeitpunkt für die Mitte des Transfers lässt sich ermitteln, wenn man den Eintritts- und den Austrittszeitpunkt abliest und den mittleren Wert errechnet. Damit ist der Punkt 1.) des Rätsels gelöst:

$ \rand{\text{Der nächste Venustransit vom Mars aus betrachtet ist am 19. August 2030 gegen 23:45 CT}}\quad\quad $Zeitdefinition

Für mehr als einen Transit wird die Suche natürlich mühsamer, aber mit dem Voranschreiten um $ t_{synodisch} $ ist dann doch relativ schnell geklärt, ob es einen weiteren Transit gibt. In den folgenden Tabellen sind einige Venustransits aus Sicht des Mars und zum Vergleich aus Sicht der Erde zusammengefasst:

Venustransits aus Sicht des Mars
t_syn=333,922 Tage
Datum	Uhrzeit in UTC	nächster Transit	t_syn
19. August 2030	23:44:57	1,8311	2
18. Juni 2032	18:53:33	27,3794	30
5. November 2059	03:03:45	4,6174	5
17. Juni 2064	15:34:21	27,3822	30
5. November 2091	00:09:45	4,6146	5
16. Juni 2096	11:23:42	1,8310	2
16. März 2098	05:57:29	27,3787	30
2. September 2125	07:18:52	4,6183	5
16. April 2130	02:54:16	27,3814	30
2. September 2157	03:53:38	4,6155	5
14. April 2162	22:58:23	1,8309	2
12. Februar 2164	16:56:30	27,3779	30

Venustransits aus Sicht der Erde
t_syn=583,924 Tage
Datum	Uhrzeit in UTC	nächster Transit	t_syn
6. Juni 1761	05:12:50	7,9937	5
3. Juni 1769	22:23:54	105,5119	66
9. Dezember 1874	03:56:42	7,9933	5
6. Dezember 1882	17:01:37	121,5021	76
8. Juni 2004	08:22:12	7,9937	5
6. Juni 2012	01:31:39	105,5114	66
11. Dezember 2117	02:51:18	7,9933	5
8. Dezember 2125	15:58:33	121,5025	76
11.Juni 2247	11:29:08	7,9937	5
9. Juni 2255	04:36:49	105,5110	66
13. Dezember 2360	01:49:08	7,9933	5
10. Dezember 2368	14:58:57	121,5030	76

Man kann auch für den Mars eine Wiederkehr der Abfolge sehen, am deutlichsten beim Blick auf die Anzahl der synodischen Umläufe: $$ \rand{\text{ ... - 2 - 30 - 5 - 30 - 5 - ... }} $$ Damit ist auch die Frage 2.) beantwortet. Es gibt wiederkehrende Muster. Aber weder beim Venustransit aus Sicht des Mars noch aus Sicht der Erde sind diese Muster langzeitstabil. Um sehr viel mehr als ein Dutzend Transits beurteilen zu können sind Berechnungsmethoden für diese erforderlich.

Die Berechnung von Transits

Seit etwa 400 Jahren ist der Aufbau unseres Planetensystem im Prinzip bekannt. Dies verdanken wir der gewaltigen Arbeitsleistung von Johannes Kepler. Er berechnete erstmals die Positionen der Planeten auf der Grundlage von Bahnellipsen. Seine Daten waren noch nicht so genau wie heutzutage, aber am Prinzip hat sich nichts geändert. Zu jeder Planetenbahn gibt es einen festen Satz von 6 Parametern, die in der folgenden Zeichnung eingetragen und in der Tabelle darunter aufgelistet sind:

Bahnelemente
a	große Halbachse der Ellipse
e	Exzentrizität: Form der Ellipse
i	Inklination: Neigungswinkel der Bahnebene gegen die Ekliptik
Ω	Winkel vom Frühlingspunkt ♈ zum aufsteigenden Knoten ☊
ω	Winkel vom aufsteigenden Knoten zum Perihel
M	Mittlere Anomalie

Die größte Leistung von Kepler liegt in der Erkenntnis des zweiten Keplerschen Gesetzes:
"Ein von der Sonne zum Planeten gezogener „Fahrstrahl“ überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen."
Daraus resultiert die sogenannte Keplergleichung, die die Mittlere Anomalie in die Exzentrische Anomalie umrechnet:

$\sand{E-e\cdot\sin\;E=M}\quad\quad$Animation

Ein Wert für $E$ ist aber nur durch Iteration zu gewinnen. Für heutige Rechner kein Problem, für Kepler schon.
Die weiteren Gleichungen sind einfach abzuleiten: $$ \sand{T=arc\cos\left(\frac{\cos E-e}{1-e\cdot\cos E}\right)} $$ $$ \sand{r=a\cdot\frac{1-e^2}{1+e\cdot\cos T}} $$

Bis hierhin findet die Berechnung in der Ebene statt. Aber mit einer verhältnismäßig kleinen Funktion $f_{position}$ und den Bahnelementen, die nach heutigen Erkenntnissen alle eine Funktion der Zeit sind, lässt sich nun für jeden Zeitpunkt der Ort eines Planeten in einem dreidimensionalen Koordinatensystem berechnen, in dessen Mittelpunkt die Sonne steht. $$\sand{{\overrightarrow v}_{planet}(t)=f_{position}\Bigg(a_{planet}(t),\;e_{planet}(t),\;i_{planet}(t),\;\Omega_{planet}(t),\;\omega_{planet}(t),\;M_{planet}(t)\Bigg)}\tag{2}$$ Das Programm liefert sowohl kartesische Koordinaten als auch Kugelkoordinaten. Das Bezugssystem ist die Ebene der Ekliptik und die Richtung zum aktuellen Frühlingspunkt.
Wenn man nun die kartesischen Koordinaten von zwei Planeten, z.B. Erde und Venus als räumliche Vektoren auffasst, die aus dem Ursprung (Mittelpunkt der Sonne) herauskommen, so kann man auch aus Erdsicht den Winkel zwischen Venus und Sonne berechnen.

$$ \sand{\alpha=\arccos\left({\displaystyle\frac{\overrightarrow{v_1}\;\cdot\;\overrightarrow{v_2}\;}{|\overrightarrow{v_1}|\cdot|\overrightarrow{v_2}|}}\right)}\tag{3} $$ $$ \text{mit}\quad\sand{\overrightarrow{v_1}=-{\overrightarrow v}_{erde}} $$ $$ \text{und}\quad\sand{\overrightarrow{v_2}={\overrightarrow v}_{venus}-{\overrightarrow v}_{erde}} $$

Die Periodizität der Funktion des Winkelabstand der Venus aus Erdsicht ergibt sich aus Gleichung (1): $ t_{synodisch} = 583,92\;Tage$
Die Zeitpunkte des maximalen Winkelabstands sind die maximale westliche und östliche Elongation. Die minimalen Winkel sind sehr nahe den Zeitpunkten für eine oberen oder unteren Konjunktion im Wechsel. Die Bereiche um die untere Konjunktion werden deutlich schneller durchlaufen. Ein Transit kann nur bei unterer Konjunktion stattfinden. Die programmgesteuerte automatische Auffindung wird erleichtert durch die Funktion der Differenz der Längen. Diese geht sehr nahe bei einem potentiellen Transit durch den Nullpunkt.

Ein vergleichbares Diagramm von Merkur zeigt aber deutlich mehr die Nichtlinearitäten infolge der Bahn des Merkurs.

Das Auffinden des minimalen Winkels zwischen Sonne und Planet durch mathematische Suchprogramme bei der jeweiligen unteren Konjunktion ist nicht ganz einfach. Eine gute Hilfe ist die Funktion der Längendifferenz $\Delta \lambda$, die ihren Nulldurchgang in der unmittelbaren Nähe des gesuchten Minimums hat. Es sei ein Startzeitpunkt vorgegeben und man berechnet dafür die Längendifferenz. Aus dem weitgehend linearen Verlauf kann man die erste Näherung so berechnen: $$ \sand{t=t_{start}-\frac{\Delta \lambda\cdot t_{synodisch}}{360^\circ}} $$ Wegen der restlichen Nichtlinearitäten ist es sinnvoll, diesen Vorgang zu wiederholen, um eine bessere Näherung zu erhalten. Dabei fungiert $t$ als neuer Startwert und natürlich wird auch ein neues $\Delta \lambda$ in die Gleichung eingesetzt. Nach wenigen Iteration verbessert sich $t$ nicht weiter und man hat den perfekten Zeitpunkt einer unteren Konjunktion errechnet. Das ist aber noch nicht der Zeitpunkt für die größte Annäherung. Da die Bahnen im allgemeinen gegen die Ekliptik geneigt sind, ist der Zeitpunkt für die Mitte eines Transits etwas früher oder etwas später.
Aber wie kommt man rechnerisch von den Zeitpunkten der Konjunktionen zu den Zeitpunkten der größten Annäherung? Dazu muss dann doch die Funktion (3) ausgewertet werden. Wenn man in guter Näherung den Weg des Planeten durch die Sonnenscheibe als linear und mit gleichbleibender Geschwindigkeit ansehen kann, dann ist der Funktionsverlauf eine Hyperbel.

Die Hyperbelgleichung

$$ \text{implizite Form:}\quad\sand{\left(\frac ya\right)^2=1+\left(\frac xb\right)^2}\tag{4a} $$ $$ \text{explizite Form:}\quad\sand{y=a\cdot\sqrt{1+\frac{x^2}{b^2}}}\tag{4b} $$

$$ \text{y wird zur Distanz d:}\quad\sand{y = d} $$ $$ \text{x wird zur Zeit t:}\quad\sand{x = t} $$ Bekannt sind drei Werte der Distanz $d_1$, $d_2$ und $d_3$ mit den zugehörigen Zeiten $$ \sand{t_1 = t-i}\quad\sand{t_2 = t}\quad\sand{t_3 = t+i} $$ und damit die drei Gleichungen $$ \sand{\left(\frac{d_1}a\right)^2 = 1+\left(\frac{t-i}b\right)^2} \tag{5a} $$ $$ \sand{\left(\frac{d_2}a\right)^2 = 1+\left(\frac tb\right)^2} \tag{5b} $$ $$ \sand{\left(\frac{d_3}a\right)^2 = 1+\left(\frac{t+i}b\right)^2} \tag{5c} $$ mit den Unbekannten $a$, $b$ und $t$, wobei vorzugsweise $t$ interessiert, die noch zu kompensierende Zeit bis zum Minimum.
Der Weg dahin ist das Eliminieren von $a$ und $b$. Mit den ersten beiden Gleichungen (5a) und (5b) verschwindet $a$: $$ \sand{\frac{d_1^2}{1+\left(\frac{t-i}b\right)^2} = \frac{d_2^2}{1+\left(\frac tb\right)^2}=a^2} $$ $$ \sand{d_1^2\left(1+\left(\frac tb\right)^2\right) = d_2^2\left(1+\left(\frac{t-i}b\right)^2\right)} $$ $$ \sand{d_1^2b^2+d_1^2t^2 = d_2^2b^2+d_2^2\left(t-i\right)^2} $$ $$ \sand{b^2 = \frac{d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2}{d_1^2-d_2^2}} $$ Wenn man den gleichen Vorgang mit Gleichung (5c) und (5b) durchführt, kann $b$ eliminiert werden: $$ \sand{\frac{d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2}{d_1^2-d_2^2} = \frac{d_2^2\left(t+i\right)^2-d_3^2t^2}{d_3^2-d_2^2}=b^2} $$ Nun hat man eine Gleichung für die letzte Unbekannte $t$, die nach $t$ aufgelöst werden kann: $$ \sand{{\left(d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2\right)}{\left(d_3^2-d_2^2\right)} = \left(d_2^2\left(t+i\right)^2-d_3^2t^2\right)\left(d_1^2-d_2^2\right)} $$ $$ \sand{d_2^2d_3^2\left(t-i\right)^2-d_1^2d_3^2t^2-d_2^4\left(t-i\right)^2+d_1^2d_2^2t^2 = d_1^2d_2^2\left(t+i\right)^2-d_1^2d_3^2t^2-d_2^4\left(t+i\right)^2+d_2^2d_3^2t^2} $$ $$ \sand{d_2^2d_3^2\left(\left(t-i\right)^2-t^2\right)+d_2^4\left(\left(t+i\right)^2-\left(t-i\right)^2\right) = d_1^2d_2^2\left(\left(t+i\right)^2-t^2\right)} $$ $$ \sand{d_2^2d_3^2\left(-2ti+i^2\right)+d_2^4\left(4ti\right) = d_1^2d_2^2\left(2ti+i^2\right)} $$ $$ \sand{-2\left(d_3^2-2d_2^2+d_1^2\right)t = i\left(d_1^2-d_3^2\right)} $$ $$ \sand{t = \frac{i\left(d_3^2-d_1^2\right)}{2\left(d_3^2-2d_2^2+d_1^2\right)}} $$

Mit dem Ergebnis lässt sich nun leicht und präzise der Minimalwert der Hyperbel finden, und damit den Zeitpunkt der Mitte des Transits. Damit sind nun alle Hilfsmittel zur Berechnung von beliebigen Transits vorhanden. Das Flussdiagramm für die Berechnung des vorigen/nächsten Transits sieht so aus:

Alle Zeitpunkte von Konjunktionen erzeugen Positionen, die senkrecht auf der Ekliptik stehen. Transitpositionen zum Zeitpunkt der Mitte des Transits liegen aber auf zwei Geraden, die durch den Mittelpunkt der Sonne gehen und je nach Durchgang durch den aufsteigenden oder absteigenden Knoten eine Neigung nach recht (absteigend) oder links (aufsteigend) aufweisen (gelbe Punkte im Diagramm unten).

Das obige Diagramm zeigt innerhalb der Sonnenscheibe 100 Merkur-Transits als gelbe Punkte für die Transitmitte über einen Zeitraum von 1990 bis 2800. Die roten Punkte auf der senkrechten Linie durch den Sonnenmittelpunkt sind die zugehörigen Konjunktionen. Zusätzlich sind zwei Transitverläufe für die nahe Zukunft dargestellt, beide von Europa gut zu verfolgen. Der Transit in grün am 9. Mai 2016 um 14:51:52 CT liegt nahe des absteigenden Knotens. Die Punktabstände sind jeweils eine Stunde. Der Transit in pink am 11. Nov. 2019 um 15:15:07 CT liegt kurz nach dem aufsteigenden Knoten. Auch hier sind die Punktabstände eine Stunde. Es ist deutlich, dass die Bewegung von Merkur 2019 wesentlich schneller ist, eine Folge des geringeren Abstands von der Erde.

Hier noch ein Transit besonderer Art: am 10. November 2084 um 6:39:21 CT wird ein Erdtransit inklusive Mond vom Mars aus zu sehen sein.

periodisches Verhalten

Wenn man die Zeitpunkte der Venustransits vom Mars aus gesehen, gegen den dabei erreichten minimalen Abstand der Venus vom Sonnenmittelpunkt aufträgt so erhält man folgendes Bild:

Das Ergebnis sieht sehr chaotisch aus. Von periodischem Verhalten ist nicht viel zu erkennen. Ein besseres Bild entsteht, wenn man statt des minimalen Abstands den mit Vorzeichen versehenen Abstand der Venus vom Sonnenmittelpunkt zum Zeitpunkt der Konjunktion aufträgt und zusätzlich die Transits nach auf- und absteigendem Knoten farblich unterscheidet:

Das ergibt ein deutliches periodisches Verhalten. Alle Punkte auf einer blauen oder roten Linie haben den zeitlichen Abstand von 65,823 Jahren oder 72 synodische Perioden. In eine solche Zeitspanne fallen aber mehrere Transits von anderen Linien. Die Punkte laufen mit der Zeit aus dem durch den Sonnendurchmesser vorgegebenen Bereich hinaus und neue Linien beginnen. Der Abstand der Linien ist kein Vielfaches von 72 Synoden. Die Häufigkeit der Transits im aufsteigenden Knoten ist deutlich höher als in absteigenden Knoten. Trotz dieser komplexen Struktur ist zumindest innerhalb kurzer Zeitintervalle eine lineare Periodizität vorhanden, und zwar genau die, die oben schon mit einem Dutzend Transits gefunden wurde: $$ \sand{\text{ ... - 2 - 30 - 5 - 30 - 5 - ... = 72 Synoden}}\quad\text{4 mal von 2030 bis 2289} $$ $$ \text{und} $$ $$ \sand{\text{ ... - 30 - 5 - 30 - 5 - 2 - ... = 72 Synoden}}\quad\text{5 mal von 2393 bis 2720} $$ Zum Vergleich hier noch die entsprechende Grafik von Venustransits aus Erdsicht.

Hier erkennt man, dass die Anzahl der Transits gegenüber dem Marsstandort viel geringer ist aber kein allzu großer Unterschied zwischen auf- und absteigendem Knoten besteht. Noch interessanter ist die Betrachtung über einen längeren Zeitraum:

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