$\sand{E-e\cdot\sin\;E=M}\quad\quad$
Animation
Ein Wert für $E$ ist aber nur durch Iteration zu gewinnen. Für heutige Rechner kein Problem, für Kepler schon.
Die weiteren Gleichungen sind einfach abzuleiten:
$$ \sand{T=arc\cos\left(\frac{\cos E-e}{1-e\cdot\cos E}\right)} $$
$$ \sand{r=a\cdot\frac{1-e^2}{1+e\cdot\cos T}} $$
Bis hierhin findet die Berechnung in der Ebene statt.
Aber mit einer verhältnismäßig kleinen Funktion $f_{position}$ und den
Die Hyperbelgleichung
$$ \text{implizite Form:}\quad\sand{\left(\frac ya\right)^2=1+\left(\frac xb\right)^2}\tag{4a} $$
$$ \text{explizite Form:}\quad\sand{y=a\cdot\sqrt{1+\frac{x^2}{b^2}}}\tag{4b} $$
$$ \text{y wird zur Distanz d:}\quad\sand{y = d} $$
$$ \text{x wird zur Zeit t:}\quad\sand{x = t} $$
Bekannt sind drei Werte der Distanz $d_1$, $d_2$ und $d_3$ mit den zugehörigen Zeiten
$$ \sand{t_1 = t-i}\quad\sand{t_2 = t}\quad\sand{t_3 = t+i} $$
und damit die drei Gleichungen
$$ \sand{\left(\frac{d_1}a\right)^2 = 1+\left(\frac{t-i}b\right)^2} \tag{5a} $$
$$ \sand{\left(\frac{d_2}a\right)^2 = 1+\left(\frac tb\right)^2} \tag{5b} $$
$$ \sand{\left(\frac{d_3}a\right)^2 = 1+\left(\frac{t+i}b\right)^2} \tag{5c} $$
mit den Unbekannten $a$, $b$ und $t$, wobei vorzugsweise $t$ interessiert, die noch zu kompensierende Zeit bis zum Minimum.
Der Weg dahin ist das Eliminieren von $a$ und $b$. Mit den ersten beiden Gleichungen (5a) und (5b) verschwindet $a$:
$$ \sand{\frac{d_1^2}{1+\left(\frac{t-i}b\right)^2} = \frac{d_2^2}{1+\left(\frac tb\right)^2}=a^2} $$
$$ \sand{d_1^2\left(1+\left(\frac tb\right)^2\right) = d_2^2\left(1+\left(\frac{t-i}b\right)^2\right)} $$
$$ \sand{d_1^2b^2+d_1^2t^2 = d_2^2b^2+d_2^2\left(t-i\right)^2} $$
$$ \sand{b^2 = \frac{d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2}{d_1^2-d_2^2}} $$
Wenn man den gleichen Vorgang mit Gleichung (5c) und (5b) durchführt, kann $b$ eliminiert werden:
$$ \sand{\frac{d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2}{d_1^2-d_2^2} = \frac{d_2^2\left(t+i\right)^2-d_3^2t^2}{d_3^2-d_2^2}=b^2} $$
Nun hat man eine Gleichung für die letzte Unbekannte $t$, die nach $t$ aufgelöst werden kann:
$$ \sand{{\left(d_2^2\left(t-i\right)^2-d_1^2t^2\right)}{\left(d_3^2-d_2^2\right)} = \left(d_2^2\left(t+i\right)^2-d_3^2t^2\right)\left(d_1^2-d_2^2\right)} $$
$$ \sand{d_2^2d_3^2\left(t-i\right)^2-d_1^2d_3^2t^2-d_2^4\left(t-i\right)^2+d_1^2d_2^2t^2 = d_1^2d_2^2\left(t+i\right)^2-d_1^2d_3^2t^2-d_2^4\left(t+i\right)^2+d_2^2d_3^2t^2} $$
$$ \sand{d_2^2d_3^2\left(\left(t-i\right)^2-t^2\right)+d_2^4\left(\left(t+i\right)^2-\left(t-i\right)^2\right) = d_1^2d_2^2\left(\left(t+i\right)^2-t^2\right)} $$
$$ \sand{d_2^2d_3^2\left(-2ti+i^2\right)+d_2^4\left(4ti\right) = d_1^2d_2^2\left(2ti+i^2\right)} $$
$$ \sand{-2\left(d_3^2-2d_2^2+d_1^2\right)t = i\left(d_1^2-d_3^2\right)} $$
$$ \sand{t = \frac{i\left(d_3^2-d_1^2\right)}{2\left(d_3^2-2d_2^2+d_1^2\right)}} $$
Mit dem Ergebnis lässt sich nun leicht und präzise der Minimalwert der Hyperbel finden,
und damit den Zeitpunkt der Mitte des Transits.
Damit sind nun alle Hilfsmittel zur Berechnung von beliebigen Transits vorhanden.
Das Flussdiagramm für die Berechnung des vorigen/nächsten Transits sieht so aus: