Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom April 2016

Astronomische Uhr in Stralsund

1.) Zahnräder und Getriebe

An den folgenden zwei Beispielen soll zunächst die Berechnung von einem Zahnradgetriebe erläutert werden.


Das linke Zahnrad mit 64 Zähnen dreht sich pro Minute zweimal, also doppelt so schnell wie ein Sekundenzeiger einer Uhr. Es treibt ein kleineres Zahnrad mit 38 Zähnen an. Die Drehzahlen sind dann $$\sand{\begin{array}{ccc} n_{64}=2\;min^{-1} \\ \;\\ n_{38}=n_{64}\cdot \frac{64}{-38}=-3,368421\;min^{-1} \end{array}}$$ Die Drehzahl des kleineren Zahnrads ist negativ, d.h. es dreht sich in die entgegengesetzte Richtung. Will man diese Richtungsumkehr vermeiden, schaltet man ein weiteres Zahnrad in die Reihe.


Die Drehzahlen sind nun $$\sand{\begin{array}{ccccc} n_{64}=2\;min^{-1} \\ \;\\ n_{17}=n_{64}\cdot \frac{64}{-17}=-7,529412\;min^{-1} \\ \;\\ n_{38}=n_{64}\cdot \frac{64}{-17}\cdot \frac{17}{-38}=3,368421\;min^{-1} \end{array}}$$ Die Drehzahl des rechten Zahnrad mit 38 Zähnen ist vom Betrag genauso groß wie im ersten Beispiel, jedoch ist der Wert positiv, also ist die Drehrichtung mit dem treibenden Zahnrad links gleich. Die Größe des mittleren Zahnrads hat keinen Einfluss auf den Betrag der Drehzahl, aber bewirkt eine Richtungsumkehr.

2.) das historische Getriebe

Nun können wir uns an die Berechnung des Getriebes der Astronomischen Uhr von Stralsund versuchen. Die folgende schematische Darstellung zeigt die Zahnräder mit ihren Zahnzahlen und den Verbindungen miteinander. Die Bezugsachse ist die Sonne mit einer Drehzahl von einem Umlauf pro Tag also $$\sand{ n_{S}=1\;Tag^{-1} }$$ Die tatsächliche Antriebsachse und alle anderen müssen sich an diese Festlegung anpassen.

Tierkreis: 365
Zwischenachse: 38 61
Sonne: 228   65    
Antrieb: 12 12    
Mond: 236    

So wie am Anfang beschrieben können wir nun die Berechnung der Drehzahlen durchführen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse.

Achse Drehzahl in Tag-1 Periode in Tagen
Tierkreis $n_T=n_S\cdot\frac{228}{-12}\cdot\frac{12}{-65}\cdot\frac{65}{-38}\cdot\frac{61}{-365}=\rand{1,002740}$ $t_T=\frac1{|n_S-n_T|}=\rand{365,000000}$
Zwischen-
achse		 $n_Z=n_S\cdot\frac{228}{-12}\cdot\frac{12}{-65}\cdot\frac{65}{-38}=-6,000000$
Sonne $n_S=1,000000$
Antrieb $n_A=n_S\cdot\frac{228}{-12}=-19,000000$
Mond $n_M=n_S\cdot\frac{228}{-12}\cdot\frac{12}{-236}=\rand{0,966102}$ $t_M=\frac1{|n_S-n_M|}=\rand{29,500000}$

In der rechten Spalte ist eine Angabe zur Periode zu finden. Diese Zeit vergeht, bis sich zwei Achsen relativ zueinander wieder in der selben Stellung einfinden. Auch hier ist die Bezugsachse die Sonne. Die astronomischen Sollwerte sind $$\sand{\begin{array}{cc} t_{Tsoll}=Jahr_{trop}=365,242190\;Tage \\ t_{Msoll}=Monat_{syn}=\frac{Jahr_{sid}\cdot Monat_{sid}}{Jahr_{sid}-Monat_{sid}}=29,530589\;Tage \end{array}}$$ Die Ergebnisse zeigen wie erwartet einen etwas schneller laufenden Tierkreis und einen deutlich langsameren Mond im Vergleich zur Sonne. Die Umlaufzeiten für einen festen Beobachten auf der Erde wären dann $$\sand{\begin{array}{ccc} U_{Tierkreis}=\frac1{n_T}=0,997268\;Tag= 23^h56^m3,934426^s\quad\text{(astron.: }23^h56^m4,090533^s) \\ U_{Sonne}=\frac1{n_S}=1,000000\;Tag= 24^h0^m0,000000^s\quad\text{(astron.: }24^h0^m0,000000^s) \\ U_{Mond}=\frac1{n_M}=1,035088\;Tag= 24^h50^m31,578947^s\quad\text{(astron.: }24^h50^m28,328605^s) \end{array}}$$ Das sieht im Vergleich zu den astronomisch gewünschten Werten hoch präzise aus, aber summiert sich über einen längeren Zeitraum zu einer spürbaren Abweichung: $$\sand{\begin{array}{ccc} \text{Winkelfehler pro Jahrhundert:} \\ W_{Tierkreis}=36000°\cdot(1-\frac{t_T}{Jahr_{trop}})=23,871393° \\ W_{Mond}=36000°\cdot(1-\frac{t_M}{Monat_{syn}})=37,290772° \end{array}}$$

3.) der Weg zum verbesserten Getriebe

Zunächst ist die Solldrehzahl von Tierkreis- und Mondachse zu berechnen. $$\sand{\begin{array}{cc} n_{Tsoll}=1+\frac1{Jahr_{trop}}=1,0027379093 \\ n_{Msoll}=1-\frac1{Monat_{syn}}=0,9661368086\end{array}}$$ Da die Tierkreisdrehzahl von den Zahnrädern abhängen, die für die Monddrehzahl zuständig sind, muss zuerst die Neuberechnung der Zahnräder für die Monddrehzahl vorgenommen werden. Weil nur ganzzahlige Zahnzahlen möglich sind, ist der Wert von $n_{Msoll}$ durch eine rationale Zahl anzunähern, bei der möglichst kleine Werte für Zähler und Nenner erreicht werden sollten. Weiterhin ist auf die Möglichkeit der Zerlegung in kleine Primfaktoren zu achten. Das übliche Verfahren zur Suche nach geeigneten Werten für Zähler und Nenner ist die Kettenbruch-Entwicklung. Damit findet man sicher gute Annäherungen aber die Anzahl der Kandidaten ist klein. Eine für diesen Zweck bessere Methode geht folgendermaßen vor:
Ausgehend von kleinen Startwerten z.B. Zähler=29 und Nenner=30, wird gefragt, ob der Bruch größer oder kleiner als der Zielwert ist. Abhängig vom Ergebnis der Antwort wird entweder der Zähler oder der Nenner um 1 erhöht, sodass damit wieder in Richtung Zielwert gesteuert wird. Wenn der neue Wert des Bruchs dem Zielwert besser entspricht als die Startwerte des Bruches, hat man einen neuen Kandidaten und auch einen besseren Startwert für eine folgende Suche. Wenn nicht, wird das Spiel der Erhöhung von Zähler oder Nenner fortgesetzt.
Hier in der folgenden Tabelle kann man das Ergebnis sehen:

KBZählerNennerVerhältnisFehler in %PeriodeZählerNenner
X29300,9666666666675.30E-230,000000292⋅3⋅5
X57590,966101694915-3.51E-329,5000003⋅1959
2572660,9661654135342.86E-329,5555562572⋅7⋅19
3143250,9661538461541.70E-329,5454552⋅15752⋅13
3713840,9661458333339.02E-429,5384627⋅5327⋅3
X4284430,9661399548533.15E-429,53333322⋅107443
X4855020,966135458167-1.35E-429,5294125⋅972⋅251
9139450,9661375661387.58E-529,53125011⋅8333⋅5⋅7
X139814470,9661368348312.62E-629,5306122⋅3⋅2331447
13067135250,966136783734-2.49E-629,53056873⋅17952⋅541
14465149720,966136788672-2.00E-629,5305725⋅11⋅26322⋅19⋅197
15863164190,966136792740-1.59E-629,53057629⋅5473⋅13⋅421
17261178660,966136796149-1.25E-629,53057941⋅4212⋅8933
18659193130,966136799047-9.59E-729,53058147⋅3977⋅31⋅89
20057207600,966136801541-7.09E-729,53058331⋅64723⋅3⋅5⋅173
21455222070,966136803711-4.93E-729,5305855⋅7⋅61353⋅419
X22853236540,966136805614-3.02E-729,530587228532⋅11827

Die in der Spalte "KB" mit "X" markierten Zeilen sind mit der Kettenbruch-Methode zu finden. Damit würde aber kein verbessertes Getriebe entwickelt werden können. Die gelbe Zeile zeigt das historische Getriebe. Die grüne Zeile kann die Bedingungen für eine Verbesserung um mehr als das tausendfache erfüllen. $$\sand{ n_{Mond}=\frac{14465}{14972}=\frac{5\cdot11\cdot263}{2\cdot2\cdot19\cdot197}=\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-197}=0,966136788672}$$ Damit sind vier Zahnräder neu bestimmt:
Zahnradaltneu
Sonne228263
Mond236197
41276
51255


Da ein Teil des Getriebes für den Tierkreis damit schon festgelegt ist, wird nicht nach der Drehzahl $n_{Tierkreis}$ sondern nach dem noch zu bestimmenden Rest gesucht. $$\sand{ n_{Rest}=n_{Tierkreis}\cdot\frac{76}{263}\cdot\frac1{55}=0,005268446672}$$
ZählerNennerVerhältnisFehler in %PeriodeZählerNenner
1630370,005268356931-8.97E-6-367,535032243037
2139860,005268439538-7.13E-7-365,4234023⋅72⋅1993
110208790,0052684515544.88E-7-365,1182702⋅5⋅1120879
131248650,0052684496282.96E-7-365,1671501315⋅4973
152288510,0052684482341.56E-7-365,20253223⋅193⋅59⋅163
173328370,0052684471785.07E-8-365,2293281737⋅4691
194368230,005268446351-3.20E-8-365,2503262⋅9723⋅1601
367696600,0052684467416.94E-9-365,24042836722⋅34⋅5⋅43
5611064830,005268446607-6.54E-9-365,2438513⋅11⋅1713⋅8191
9281761430,005268446660-1.21E-9-365,24249725⋅2911⋅67⋅239
12952458030,0052684466831.10E-9-365,2419115⋅7⋅3717⋅19⋅761
22234219460,0052684466731.36E-10-365,24215532⋅13⋅192⋅7⋅30139
537410200350,005268446671-9.60E-11-365,2422142⋅26875⋅204007


Auch hier findet sich eine geeignete Zeile mit hoher Genauigkeit und kleinen Zahlen. $$\sand{ n_{Rest}=\frac{367}{69660}=\frac{367}{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot43}=\frac1{215}\cdot\frac{367}{324}=0,005268446741}$$ Nun kann man die Teile zusammensetzen und es ergibt sich $$\sand{ n_{Tierkreis}=\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-215}\cdot\frac{367}{-324}=-1,002737922541}$$ Das negative Vorzeichen erinnert daran dass noch eine Richtungsumkehr erfolgen muss, so wie zuvor auch im historischen Getriebe. Auch hier ist die Größe des Umkehr-Zahnrads beliebig. man kann also den alten Wert beibehalten: $$\sand{ n_{Tierkreis}=\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-65}\cdot\frac{65}{-215}\cdot\frac{367}{-324}=1,002737922541}$$ Damit sind die restlichen vier Zahnräder bestimmt:
Zahnradaltneu
Tierkreis365324
161367
238215
36565

4.) das verbesserte Getriebe

Tierkreis: 324
Zwischenachse: 215 367
Sonne: 263   65    
Antrieb: 76 55    
Mond: 197    

Achse Drehzahl in Tag-1 Periode in Tagen
Tierkreis $n_T=n_S\cdot\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-65}\cdot\frac{65}{-215}\cdot\frac{367}{-324}=\rand{1,002738}$ $t_T=\frac1{|n_S-n_T|}=\rand{365,240428}$
Zwischen-
achse		 $n_Z=n_S\cdot\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-65}\cdot\frac{65}{-215}=-0,885251$
Sonne $n_S=1,000000$
Antrieb $n_A=n_S\cdot\frac{263}{-76}=-3,460526$
Mond $n_M=n_S\cdot\frac{263}{-76}\cdot\frac{55}{-197}=\rand{0,966137}$ $t_M=\frac1{|n_S-n_M|}=\rand{29,530572}$
$$\sand{\begin{array}{ccc} U_{Tierkreis}=\frac1{n_T}=0,997270\;Tag= 23^h56^m4,089397^s\quad\text{(astron.: }23^h56^m4,090533^s) \\ U_{Sonne}=\frac1{n_S}=1,000000\;Tag= 24^h0^m0,000000^s\quad\text{(astron.: }24^h0^m0,000000^s) \\ U_{Mond}=\frac1{n_M}=1,035050\;Tag= 24^h50^m28,330453^s\quad\text{(astron.: }24^h50^m28,328605^s) \end{array}}$$ Im Vergleich mit den astronomischen Werten ist kaum noch ein Unterschied zu sehen und auch der Winkelfehler pro Jahrhundert ist verschwindend gering: $$\sand{\begin{array}{ccc} \text{Winkelfehler pro Jahrhundert:} \\ W_{Tierkreis}=36000°\cdot(1-\frac{t_T}{Jahr_{trop}})=0,173697° \\ W_{Mond}=36000°\cdot(1-\frac{t_M}{Monat_{syn}})=0,021224° \end{array}}$$

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