Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Februar 2019

Elsternbrücke

1.) Bezeichnungen und Beschreibungen

$$\begin{align} G &= \text{Gravitationskonstante} \\ V &= \text{Massenverhältnis Erde zu Mond} \\ r_e &= \text{Radius der Erde} \\ r_m &= \text{Radius des Mondes} \\ m_e &= \text{Masse der Erde} \\ m_m &= \text{Masse des Mondes} \\ m &= \text{Probemasse am Lagrangepunkt} \\ d &= \text{Abstand der Schwerpunkte von Erde und Mond} \\ d_e &= \text{Abstand des Schwerpunkts der Erde vom Lagrangepunkt} \\ d_m &= \text{Abstand des Schwerpunkts des Mondes vom Lagrangepunkt} \\ d_x &= \text{Abstand des Schwerpunkts des Erde-Mond-Systems vom Lagrangepunkt} \\ \omega &= \text{Kreisfrequenz des Erde-Mond-Systems} \\ T &= \text{siderische Umlaufzeit aller Massen um den gemeinsamen Schwerpunkt} \\ f_e &= \text{Anziehungskraft zwischen Erde und Probemasse am Lagrangepunkt} \\ f_m &= \text{Anziehungskraft zwischen Mond und Probemasse am Lagrangepunkt} \\ f_z &= \text{Zentripedalkraft einer Probemasse am Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_e} &= \text{Richtung des Einheitsvektors von Erde zum Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_m} &= \text{Richtung des Einheitsvektors von Mond zum Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_z} &= \text{Richtung des Einheitsvektors vom Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems zum Lagrangepunkt} \\ \end{align}$$ $$\begin{align} x_e &= \text{x-Koordinate des Schwerpunkts der Erde} \\ x_m &= \text{x-Koordinate des Schwerpunkts des Mondes} \\ x &= \text{x-Koordinate des Lagrangepunkts} \\ y &= \text{y-Koordinate des Lagrangepunkts} \\ \end{align}$$

2.) gegebene und leicht zu berechnende Größen

$$ \begin{align} V &= 81,30059 \\ d &= 3,84400\cdot 10^{8}\; m \\ r_e &=6,37800\cdot 10^{6}\;m \\ r_m &=1,73800\cdot 10^{6}\;m \\ x_e &= -d\cdot\frac{1}{V+1} = -4,67068\cdot 10^{6}\; m \\ x_m &= d\cdot\frac{V}{V+1} = 3,79729\cdot 10^{8}\; m \\ \end{align} $$ Für dieses Rätsel nicht erforderlich (kürzt sich später raus): $$\rand {\begin{align} G &= 6,67259\cdot 10^{-11}\; m^3kg^{-1}s^{-2} \\ T &= 27,32166 \; d=2,36059\cdot 10^{6}\; s \end{align}}\tag{Antwort zu Frage 3 des Rätsels}$$ $$\begin{align} \omega &= \frac{2\pi}{T} = 2,66170\cdot 10^{-6}\; s^{-1} \\ m_e &= \frac{\omega^2\cdot d^3\cdot V}{G\cdot (V+1)}=5,95751\cdot 10^{24}\; kg \tag{1}\\ m_m &= \frac{\omega^2\cdot d^3}{G\cdot (V+1)}=7,32775\cdot 10^{22}\; kg \tag{2} \end{align} $$

3.) Berechnung der Koordinaten der Lagrange-Punkte L₁ bis L₃

$$ f_e \cdot \overrightarrow{e_e} + f_m \cdot \overrightarrow{e_m} = f_z \cdot \overrightarrow{e_z} \\ \frac{G\cdot m_e \cdot m}{ {d_e}^2} \cdot \overrightarrow{e_e} + \frac{G\cdot m_m \cdot m}{ {d_m}^2} \cdot \overrightarrow{e_m} = m \cdot \omega^2 \cdot d_x \cdot \overrightarrow{e_z}\\ \frac{m_e}{ {d_e}^2} \cdot \overrightarrow{e_e} + \frac{m_m}{ {d_m}^2} \cdot \overrightarrow{e_m} =\frac{ \omega^2\cdot d_x}{G} \cdot \overrightarrow{e_z} \\ \frac{m_e}{ {d_e}^3} \cdot \left(\matrix{x-x_e\\y}\right) + \frac{m_m}{ {d_m}^3} \cdot \left(\matrix{x-x_m\\y}\right) =\frac{ \omega^2}{G} \cdot \left(\matrix{x\\y}\right) \\ $$ Wenn man die Komponenten der Vektoren in zwei einzelne Gleichungen schreibt, hat man ein Gleichungssystem ohne Vektoren: $$ \frac{m_e}{ {d_e}^3} \cdot (x-x_e) + \frac{m_m}{ {d_m}^3} \cdot (x-x_m) -\frac{ \omega^2}{G} \cdot x =0 \tag{3} $$ $$ y\cdot\left(\frac{m_e}{ {d_e}^3} + \frac{m_m}{ {d_m}^3} -\frac{ \omega^2}{G} \right)=0 \tag{4} $$ Eine Lösung für die Gleichung (4) ist $y=0$. Dann wird aus der Gleichung (3) eine Funktion von x, deren Nullstellen zu suchen sind. $$ f(x)=\frac{m_e}{(x-x_e)|x-x_e|} + \frac{m_m}{(x-x_m)|x-x_m|} -\frac{ \omega^2}{G} \cdot x \\ $$ $m_e$ und $m_m$ wird ersetzt durch die Formel (1) und (2). Dann kürzt sich $\frac{\omega^2}{G}$. Wenn man $\frac{x}{d}$ durch $u$ substituiert erhält man nach einigen Umformungen eine Funktion von $u$, in der zusätzlich nur noch das Massenverhältnis $V$ auftaucht: $$ f(u)=\frac{V}{\left(u+\frac{1}{V+1}\right)\left|u+\frac{1}{V+1}\right|} + \frac{1}{\left(u-\frac{V}{V+1}\right)\left|u-\frac{V}{V+1}\right|} - (V+1) \cdot u $$ Der Kurvenverlauf dieser Funktion zeigt bereits Näherungswerte für die drei Nullstellen:


Zur Lösung dieser Gleichung kann das Newton-Verfahren zur schrittweisen Näherung benutzt werden: $$ u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)} $$ Dazu ist noch die 1. Ableitung zu bilden: $$ f'(u)=-\frac{2}{\left(u-\frac{V}{V+1}\right)^2\left|u-\frac{V}{V+1}\right|}-\frac{2V}{\left(u+\frac{1}{V+1}\right)^2\left|u+\frac{1}{V+1}\right|}-V-1 $$

Damit sind die Koordinaten in der Schreibweise von Ortsvektoren der Lagrange-Punkte 1 bis 3 anzugeben: $$ \rand{ \begin{align} L_1&=\left(\matrix{x_1\\y_1}\right)=\left(\matrix{u_1\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{3,21710\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \\ L_2&=\left(\matrix{x_2\\y_2}\right)=\left(\matrix{u_2\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{4,44244\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \\ L_3&=\left(\matrix{x_3\\y_3}\right)=\left(\matrix{u_3\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{-3,86346\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \end{align} }\tag{Teilantwort zu Frage 1 des Rätsels} $$

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