Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Mai 2013

Schrödingers Katze

Dieses Rätsel beschäftigt sich mit Wahrscheinlichkeiten endlicher und unendlicher Anzahlen von Ereignissen mit einer bestimmten mittleren Ereignisdichte, hier der radioaktive Zerfall.
Der Einstieg war schon auf der Rätselseite in Form einer Tabelle gezeigt. Die mittlere Länge des Zeitraums für genau ein Ereignis ist in diesem Fall t₁ = 2 h. Die Anzahl k, die in ein Messintervall t = 1 h fällt ist k = t / t₁= 1/2.
Die folgende Tabelle ist auf ein Zeitfenster von n = 4 Messintervalle also 4 Stunden angelegt. Die beiden Ereignisse a und b verteilen sich dabei voneinander unabhängig und zufällig. Dabei gibt es die hier dargestellten 16 Möglichkeiten:


Diese Tabelle zeigt n^k*n * n = 64 Felder, wobei (n - 1)^k*n * n = 36 Felder frei bleiben.
Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Messintervalls t, also 1 Stunde auf ein freies Feld zu treffen, ist also:
(n - 1)^k*n / n^k*n = ((n - 1)/n)^k*n = (1 - 1/n)^k*n = 9/16 = 0.5625 = 56.25%
Nun kann man für jedes endliche Zeitintervall die Wahrscheinlichkeiten angeben, aber nur ganzzahlige Ereigniszahlen sind erlaubt, das heißt in diesem Fall, nur geradzahlige n sind erlaubt:


Damit ist die erste Antwort auf die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für ein Zeitintervall von 24 Stunden gefunden: 0.60006615409097 = 60.006615409097%.

Man sieht, dass die Wahrscheinlichkeit sich mit steigendem n einem Grenzwert nähert. Also kann man den Grenzwert für obige Gleichung bestimmen und erhält die Antwort auf die zweite Frage:
lim(1 - 1/n)^k*n mit n→∞ = e^-k = 0.60653065971263 = 60.653065971263%

Zur Beantwortung der letzten Frage muss zunächst die Gleichung e^-k = 50% nach k aufgelöst werden: k = ln(2) = 0.69314718055995
Da k = t / t₁, kann die Länge des gesuchten Messintervalls t berechnet werden:
t = k * t₁ = ln(2) * 2 h = 1.3862943611199 h

Eine nicht gestellte Frage kann man auch leicht beantworten: Wie muss die radioaktive Strahlung verändert werden, damit das Messintervall von 1 Stunde bleiben kann und trotzdem eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 50% erreicht wird?

Die Lösung wäre: t₁ = t / k = 1.442695040889 h
das heißt, wenn die radioaktive Strahlung so gesteigert würde, dass im Mittel alle 1.442695040889 Stunden sich ein Zerfall ereignen würde, wäre die Idee von Schrödinger zu erfüllen.

Zum Abschluss noch eine Bewertung der Ergebnisse dieses Rätsels.

Warum kommt für unterschiedlich lange Zeitfenster jeweils eine andere Wahrscheinlichkeit heraus? Man könnte annehmen, dass die Strahlungsintensität von einem Zerfall pro zwei Stunden für ein darin beliebig gelegenes Messintervall von einer Stunde zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% führt. Das wäre auch der Fall, wenn das Zerfallsereignis auch sicher genau einmal in den zwei Stunden eintreten würde. Man kann aber die radioaktiven Ereignisse nicht "einsperren". Nehmen wir an dass nach einer Stunde noch immer kein Zerfallsereignis aufgetreten ist dann würde die Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls für die zweite Stunde 100% sein. Darauf wird sich das radioaktive Material aber nicht einlassen. Genauso umgekehrt würde nach einem Zerfall in der ersten Stunde auch keine Gewissheit des Ausbleibens eines weiteren Zerfalls in der zweiten Stunde bestehen.
In dem folgenden Beispiel ist aber genau das möglich: Ein Bäcker gibt zu seinem Brotteig für zwei Brote eine Rosine hinzu. Nach gründlichem Mischen und anschließendem Backen der beiden Brote kann man mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% davon ausgehen, eine Rosine in einem Brot vorzufinden. Auch ist es so, dass wenn man im ersten Brot keine Rosine findet, sie sicher im zweiten Brot ist. Die Rosine lässt sich offenbar problemlos einsperren.

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