Die oben abgebildeten Kurvenzüge sind die Schritte 1 bis 4 zur Erzeugung der Peano-Kurve. Dabei wird der Kurvenzug eines Schritts im nächsten Schritt in horizontaler und vertikaler Richtung mit Abständen verdreifacht und gleichzeitig wieder auf die Größe des ursprünglichen Einheitsquadrats verkleinert. Damit wieder ein durchgehender Kurvenzug entsteht müssen die gebildeten neun Kurvenzüge noch mit acht kurzen Linien verbunden werden. In Bild 2 sind die verbindenden Linien zum besseren Verständnis rot hervorgehoben. Auf diese Weise wird jeweils ein durchgehender Kurvenzug mit zunehmender Länge von links unten nach recht oben erzeugt, der nach unendlich vielen Schritten die gesamte Fläche des Quadrats ausfüllt und als Peano-Kurve bezeichnet wird.

 Rätselaufgabe: 

1.) Wie lang sind die Kurvenzüge in den ersten 4 Schritten zur Peano-Kurve?

2.) Wie lautet die Formel zur Berechnung der Länge des n-ten Schritts?

3.) Bei der obigen Abbildung des 4. Schritts ist ein winziger Fehler an nur einer Stelle eingebaut worden. Aus wurde . Dadurch ist die Kurve verkürzt und es gibt zusätzlich einen davon abgetrennten geschlossenen Kurvenzug. Wie lang ist die verkürzte Kurve?

Die drei besten richtigen Antworten gewinnen.

Die Lösung können Sie hier abschicken.

Viel Spaß bei der Beschäftigung mit diesem Rätsel.