Ausflug in höhere Dimensionen
Alles startet mit einer Singularität, das Universum und auch dieses Rätsel.
Wie viele Dimensionen das Universum hinzu bekam, ist unter den theoretischen Physikern noch ein Streitpunkt.
In diesem Rätsel haben wir das jedoch unter Kontrolle.
Zur Singularität oder Ursprung fügen wir Schritt für Schritt eine Dimension hinzu und bilden damit Strukturelemente,
die jeweils das einfachste Element der jeweiligen Raumdimension sind.
In der Mathematik ist die erste zum Ursprung hinzugefügte Dimension der mit "x-Achse" bezeichnete Strahl, der vom Ursprung ausgeht.
Auf ihm markieren wir an der Stelle 1 einen weiteren Punkt, den man oft auch als den Endpunkt des Einheitsvektors dieser Dimension bezeichnet.
Jetzt existieren schon zwei Punkte, der Ursprung $P_0(0)$ und der Punkt $P_1(1)$ auf der ersten Dimension.
Der Abstand zwischen beiden ist 1, Einheitsstrecke genannt, das erste und einfachste Gebilde in der eindimensionalen Welt.
In dieser Welt gibt es auch eine Mitte: den Zentralpunkt $Z(0,5)$.
Die jeweilige Schreibweise für Punkte (x) sagt aus, dass in der ersten (und bisher einzigen) Dimension, nämlich die x-Achse, der Punkt am Ort x auf der x-Achse positioniert ist.
Wenn man sich auch noch fragt, wie groß der Sichtwinkel zwischen Ursprung und $P_1(1)$ aus Sicht der Mitte dieser kleinen Welt ist, so kann man das mit 180° angeben, ein so genannter gestreckter Winkel.
All diese Eigenschaften sind in der unten stehenden Tabelle unter Dimension 1 zu finden.
Nun wächst unser mathematisches Weltgebilde um eine Dimension, üblicherweise "y-Achse" genannt.
Wir leben nun in der Flächenwelt, in der wir uns am besten auskennen.
Das Hinzufügen eines weiteren Punktes ist die erste Aufgabe.
Er soll von den schon vorhandenen Punkten genau so weit entfernt sein, wie die bisherigen zueinander, nämlich in der Entfernung 1.
Das wird immer dadurch erreicht, indem man vom bisherigen Zentralpunkt in die neue Dimension aufbricht und sich soweit entfernt,
bis der Abstand zum Ursprung und gleichzeitig zu jedem anderen Punkt P der alten Welt genau 1 ist.
Der neue Punkt in der neuen Dimension hat die Koordinaten des alten Zentralpunktes geerbt und in der neuen Dimension noch eine weitere hinzu bekommen.
Sein Ort in der Fläche ist $P_2({\scriptscriptstyle\matrix{0,5\\0,866025}})$, also 0,5 auf der x-Achse und 0,866025 auf der y-Achse.
Tatsächlich bildet dieser Punkt mit den schon vorhandenen ein Einheitsdreieck, das einfachste Gebilde in der 2-dimensionalen Welt.
Der merkwürdig oder sogar willkürlich erscheinende y-Wert von $P_2$ ist genau die Höhe des Einheitsdreiecks.
Die weiteren Eigenschaften kann man aus der Tabelle unten ablesen.
Das Konstruktionsprinzip für die einfachsten Gebilde eine bestimmten Dimension dürfte nun klar sein.
Auf geht's in die höheren Dimensionen.
| Liste der Eigenschaften |
|---|
| | Bezeichnung | Punkt | Strecke | Dreieck | Tetraeder | Pentachoron | $\vdots$ | k-Simplex |
| | Dimension $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\vdots$ | k |
| A | Koordinaten des letzten hinzugefügten Eckpunktes $P_k$ |
Ursprung |
$\left(1\right)$ |
$\left(\matrix{0,5\\0,866025}\right)$ |
$\left(\matrix{0,5\\0,288675\\0,816497}\right)$ |
$\left(\matrix{P_{4,1}=\class{em}{\text{?}}\\P_{4,2}=\class{em}{\text{?}}\\P_{4,3}=\class{em}{\text{?}}\\P_{4,4}=\class{em}{\text{?}}}\right)$ |
$\vdots$ |
$\left(\matrix{P_{k,1}\\...\\P_{k,i}\\...\\P_{k,k}}\right) \text{mit} P_{k,i}=\class{em}{\text{?}}$ |
| B | Koordinaten des Zentralpunktes $Z_k$ (Schwerpunkt) |
Ursprung |
$\left(0,5\right)$ |
$\left(\matrix{0,5\\0,288675}\right)$ |
$\left(\matrix{0,5\\0,288675\\0,204124}\right)$ |
$\left(\matrix{Z_{4,1}=\class{em}{\text{?}}\\Z_{4,2}=\class{em}{\text{?}}\\Z_{4,3}=\class{em}{\text{?}}\\Z_{4,4}=\class{em}{\text{?}}}\right)$ |
$\vdots$ |
$\left(\matrix{Z_{k,1}\\...\\Z_{k,i}\\...\\Z_{k,k}}\right) \text{mit} Z_{k,i}=\class{em}{\text{?}}$ |
| C | Winkel am Zentralpunkt zwischen zwei beliebigen Eckpunkten |
| 180° | 120° | $\varphi_3=\class{em}{\text{?}}$ | $\varphi_4=\class{em}{\text{?}}$ | $\vdots$ | $\varphi_k=\class{em}{\text{?}}$ |
| D | Abstand der Eckpunkte vom Zentralpunkt |
| 0,5 | 0,577350 | $d_3=\class{em}{\text{?}}$ | $d_4=\class{em}{\text{?}}$ | $\vdots$ | $d_k=\class{em}{\text{?}}$ |
Rätselaufgabe:
Wie lauten die Werte bzw. in Spalte k die mathematischen Ausdrücke an den Stellen der Fragezeichen?
Viel Spaß bei der Suche nach einer Lösung.