Preisrätsel August 2012

Das war lange das Ziel der antiken Mathematik gewesen: Ein gleichschenkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. Irgendwann wurde jedoch klar, dass es so etwas nicht geben kann, denn es könnte ja nur eine Vergrößerung des Dreiecks mit den Seiten a = 1, b = 1 und c = Wurzel aus 2 sein und davon weiß man inzwischen, dass Wurzel aus 2 kein Bruch sein kann und daher kann man auch nicht mit einer Vergrößerung um den Wert des Nenners zu einer ganzen Zahl für c gelangen.

n	an	bn	cn
1	3	4	5
2	20	21	29
3	119	120	169
4	696	697	985
5	4059	4060	5741
...	...	...	...

Aber man kann sich diesem Ziel beliebig nähern. Das links abgebildete Dreieck (3,4,5) ist noch keine gute Näherung aber ein Anfang. Die Seitenlängen von a und b unterscheiden sich nur um 1. Wenn wir dies zur Bedingung für die weitere Überlegung machen und a größer werden lassen, so wird der relative Unterschied zu b irgendwann vernachlässigbar. Der nächste Kandidat ist das Dreieck (20,21,29). Wenn man weiter forscht erhält man weitere Dreieckszahlen, die in der Tabelle rechts aufgelistet sind. Es fällt auf, dass von einer Zeile zur nächsten die Dreiecksseiten um den nahezu gleichen Faktor zunehmen.

 Rätselaufgabe: 

a) Wie groß ist das 20. Folgeglied der Seite a also a₂₀?
b) wie lautet der algebraische Ausdruck für den Grenzwert von a_n+1/a_n für n gegen unendlich?

Die drei besten Antworten gewinnen.

Die Lösung können Sie hier abschicken.

Viel Spaß bei der Beschäftigung mit diesem Rätsel.