1.) die Eigenschaften der einzelnen Bausteine
Die Bausteine werden zunächst von oben nach unten durchnummeriert.
Es handelt sich um quadratische Säulen, mathematisch auch quadratisches Prisma genannt.
Das Quadrat hat die Kantenlänge 1 und die Höhen sind ganzzahlige Vielfache von 1.
Das Material hat unterschiedliche Dichte.
Die folgende Tabelle fasst die Eigenschaften zusammen:
| Eigenschaften der einzelnen Bausteine |
|---|
| Teil-Nr. | Säulenhöhe | spezifische Dichte |
|---|
| 1 | 2 | 0,96 |
| 2 | 2 | 0,91 |
| 3 | 1 | 0,91 |
| 4 | 4 | 0,81 |
| 5 | 4 | 0,96 |
2.) die Schwerpunkte der einzelnen Bausteine im Turm
Die einzelnen Bausteine sind sehr symmetrisch und somit liegt der Schwerpunkt genau in deren Mitte.
Die Masse berechnet sich aus dem Produkt von Volumen und Dichte.
Das hier benutzte willkürliche Koordinatensystem liegt mit seinem Ursprung in der sichtbaren unteren rechten Ecke des fünften Bausteins.
Die x-Achse geht positiv nach rechts, die y-Achse positiv nach oben und die z-Achse positiv in die Bildebene hinein.
| Schwerpunktkoordinaten und Masse der einzelnen Bausteine |
|---|
| Teil-Nr. | x | y | z | Masse |
|---|
| 1 | -0,500000 | 5,000000 | 0,500000 | 1,920000 |
| 2 | -1,000000 | 3,500000 | 0,500000 | 1,820000 |
| 3 | -0,500000 | 2,500000 | 0,500000 | 0,910000 |
| 4 | 1,000000 | 1,500000 | 0,500000 | 3,240000 |
| 5 | -2,000000 | 0,500000 | 0,500000 | 3,840000 |
3.) Berechnung des resultierenden Schwerpunkts
Der gemeinsame Schwerpunkt von zwei Körpern a und b vereint die beiden Massen und liegt auf der Verbindungslinie der beiden einzelnen Schwerpunkte.
Er teilt diese Strecke so,
dass die beiden Teilstrecken wie die Längen der Arme einer sich im Gleichgewicht befindlichen Balkenwaage verhalten.
Wenn man diesen Punkt rechnerisch ermitteln will, kann man das komponentenweise tun:
$$\begin{align}
m_{ab}&=m_a+m_b \\
x_{ab}&=x_a-(x_a-x_b)\cdot {\textstyle \frac{m_b}{m_{ab}}} \\
y_{ab}&=y_a-(y_a-y_b)\cdot {\textstyle \frac{m_b}{m_{ab}}} \\
z_{ab}&=z_a-(z_a-z_b)\cdot {\textstyle \frac{m_b}{m_{ab}}}
\end{align}$$
Nun kann man oben an der Spitze des Turms beginnen und zwei Teile zusammenfassen.
Dann fasst man diese Zusammenfassung mit dem nächst unteren Teil zusammen, usw.
Es ergibt sich folgende Tabelle:
| Schwerpunktkoordinaten und Masse der Kombinationen |
|---|
| Anzahl Teile | x | y | z | Masse |
|---|
| 1 | -0,500000 | 5,000000 | 0,500000 | 1,920000 |
| 2 | -0,743316 | 4,270053 | 0,500000 | 3,740000 |
| 3 | -0,695699 | 3,923656 | 0,500000 | 4,650000 |
| 4 | 0,000634 | 2,928390 | 0,500000 | 7,890000 |
| 5 | -0,654305 | 2,133419 | 0,500000 | 11,730000 |
Wie man sieht, liegt der Schwerpunkt bei den oberen Zusammenfassungen immer über der Auflagefläche (-1 < x < 0).
Das ändert sich aber, wenn die vier oberen Teile zusammen gefasst werden. der x-Wert ist positiv und damit außerhalb der Auflagefläche.
Das Bauwerk kippt an dieser Stelle nach rechts.
Damit ist bewiesen, dass der Turm nicht stabil steht.
