1.) Bildergleichungen der Volumina
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Dabei ist
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und
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Nun müssen andere Zerlegungen erfolgen:
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Zusammenfassend ist
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2.) Berechnungen
Das folgende Bild zeigt die untere Hälfte der Pickelkugel:
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Die Volumina der drei Körper Kugel, Würfel und Oktaeder sind $$ V_{Kugel}=\frac43\pi\cdot r^3 \\ V_{Würfel}={k_W}^3=2\sqrt{2}\cdot r^3 \\ V_{Oktaeder}=\frac13\sqrt{2}\cdot{k_O}^3=\frac83\sqrt{2}\cdot r^3 $$ Was nun noch fehlt sind die beiden Volumina der 6 bzw. 8 Kugelsegmente. Dazu sind zunächst die Basiskreise und deren Radien $a_W$ und $a_O$ zu bestimmen.
$a_W$ ist der Radius des Inkreises eines Quadrats mit der Kantenlänge $k_W$.
$a_O$ ist der Radius des Inkreises eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge $k_O$. $$ a_W=\frac12k_W=\sqrt{\textstyle\frac12}\cdot r \\ a_O=\frac16\sqrt{3}\cdot k_O=\sqrt{\textstyle\frac13}\cdot r $$ Die Formel für das Volumen $V$ eines Kugelsegments, bei dem der Basisradius $a$ und der Kugelradius $r$ gegeben ist, lautet: $$ V=\frac {\pi }3 \left(r-\sqrt {r^2-a^2}\right) \left(a^2+r\left(r-\sqrt {r^2-a^2}\;\right)\right) $$ Die beiden noch fehlenden Volumina, bezeichnet mit $V_{6Segmente}$ und $V_{8Segmente}$ sind dann $$ V_{6Segmente}=6\cdot\frac {\pi }3 \left(r-\sqrt {r^2-\textstyle\frac12r^2}\right) \left(\textstyle\frac12r^2+r\left(r-\sqrt {r^2-\textstyle\frac12r^2}\;\right)\right) \\ V_{8Segmente}=8\cdot\frac {\pi }3 \left(r-\sqrt {r^2-\textstyle\frac13r^2}\right) \left(\textstyle\frac13r^2+r\left(r-\sqrt {r^2-\textstyle\frac13r^2}\;\right)\right) $$ Durch Ausklammern von $r$ wird $$ V_{6Segmente}=6\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(1-\sqrt {1-\textstyle\frac12}\right) \left(\textstyle\frac32-\sqrt {1-\textstyle\frac12}\;\right) \\ V_{8Segmente}=8\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(1-\sqrt {1-\textstyle\frac13}\right) \left(\textstyle\frac43-\sqrt {1-\textstyle\frac13}\;\right) $$ und vereinfacht: $$ V_{6Segmente}=6\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(2-\frac52\sqrt{\textstyle\frac12}\;\right) \\ V_{8Segmente}=8\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(2-\frac73\sqrt{\textstyle\frac23}\;\right) $$ Alle Volumenanteile der Pickelkugel sind nun vorhanden und die letzte Bildergleichung lautet in mathematischer Sprache: $$ V=V_{Würfel}+V_{Oktaeder}-V_{Kugel}+V_{6Segmente}+V_{8Segmente} \\ V=2\sqrt{2}\cdot r^3+\frac83\sqrt{2}\cdot r^3-\frac43\pi\cdot r^3+6\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(2-\frac52\sqrt{\textstyle\frac12}\;\right)+8\cdot\frac{\pi}3r^3 \left(2-\frac73\sqrt{\textstyle\frac23}\;\right) \\ \rand{V=4,66457706571590\;r^3} $$
3.) Zusammenfassung
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4,66457706571590 $r^3$ |
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4,56577687679284 $r^3$ |
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4,18879020478639 $r^3$ |
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4,28759039370945 $r^3$ |
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0,09880018892306 $r^3$ |
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2,82842712474619 $r^3$ |
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0,37698667200645 $r^3$ |
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3,77123616632825 $r^3$ |
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1,45916326896326 $r^3$ |
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0,79454071046459 $r^3$ |