1.) Einleitung
Das Problem ist bei Weitem nicht so kompliziert wie es aussieht. Man muss nur den Hinweis sehr ernst nehmen. Der Kernpunkt ist, dass jede Person von einer Menge Fehler nur einen festen Anteil findet. Dabei ist es unerheblich, um welche Menge es sich handelt. Dass die Praxis etwas anders sein könnte, ist hier nicht bedeutsam, denn für dieses Rätsel sind durch den Tipp die Bedingungen vorgegeben. Tatsächlich ist aber die Wirklichkeit nicht sehr weit von der Lösung nach diesen Vorgaben entfernt, wie am Ende erklärt wird.2.) die simplen Gleichungen
Für die folgenden Gleichungen sollen zunächst die benutzten Variablen erklärt werden. $$a = \text{Anzahl der gefundenen Fehler von Anton} \\ b = \text{Anzahl der gefundenen Fehler von Berta} \\ c = \text{Anzahl der gefundenen Fehler von Christa} \\ s_{ab} = \text{Schnittmenge von a und b, also gemeinsam gefundene Fehler} \\ v_{ab} = \text{Vereinigungsmenge von a und b, also alle von Anton und Berta gefundenen Fehler} \\ z = \text{gesamte Anzahl der im Reisebericht enthaltenen Fehler} \\ p_a = \text{Prozentsatz der von Anton gefundenen Fehler} \\ p_c = \text{Prozentsatz der von Christa gefundenen Fehler} \\ f_{ab} = \text{Anzahl der Fehler, die weder von Anton noch von Berta gefunden wurden}$$ Mit der Angabe, dass 48% von $v_{ab}$ gleich $s_{ab}$ ist, lässt sich $s_{ab}$ berechnen: $$v_{ab}\cdot 0,48 = s_{ab} \\ v_{ab} = a+b-s_{ab} \\ (a+b-s_{ab})\cdot 0,48 = s_{ab} \\ s_{ab} = (a+b)\cdot 0,48 / 1,48 = 36$$ Da nun Anton von allen Fehlern $z$ nur $z\cdot p_a = a$ findet, und von den Fehlern $b$, die Berta gefunden hat, ebenfalls nur $b\cdot p_a = s_{ab}$ findet, kann nun folgende Berechnung von $z$ erfolgen: $$p_a=\frac{a}{z} \\ p_a=\frac{s_{ab}}{b} \\ \frac{a}{z}=\frac{s_{ab}}{b} \\ z=\frac{a\cdot b}{s_{ab}} = 84$$ Damit lässt sich leicht die erste Rätselfrage beantworten: $$\rand{f_{ab} = z-v_{ab} = 9}$$ Nun kommt Christa ins Spiel, die von diesen $f_{ab} = 9$ Fehlern 6 findet. Damit ist klar, dass Christa einen persönlichen Prozentsatz $p_c = 2/3$ hat. Und schon kann man die zweite Rätselfrage beantworten: $$\rand{c = p_c\cdot z = 56}$$3.) Gesamtsicht
Es ist nun leicht, alle möglichen Kombinationen auszurechnen, z.B. die Anzahl $s_{abc}$ der Fehler, die von allen drei gefunden wurden, also die Schnittmenge von $a$, $b$ und $c$. $$s_{abc} = p_c\cdot s_{ab} = 24$$ Es gilt natürlich auch $$s_{abc} = p_a\cdot s_{bc} = 24 \\ s_{abc} = p_b\cdot s_{ac} = 24$$ woraus sich die Schnittmengen der gefundenen Fehler von Berta und Christa bzw. Anton und Christa berechnen lassen.Es gibt bei drei Personen 8 Kombinationen von Schnittmengen, die hier aufgelistet sind:
| $s_{abc} = 24$ | $s_{ab} = 12$ |
| $s_{bc} = 18$ | $s_{ac} = 8$ |
| $s_{a} = 4$ | $s_{b} = 9$ |
| $s_{c} = 6$ | $s_{-} = 3$ |
Das es wirklich etwas mit "Schnitt" zu tun hat, sieht man, wenn man die Menge aller Fehler als Volumen eines Würfels darstellt und durch drei Schnitte, die zueinander senkrecht ausgeführt werden, für jede Person den individuellen Anteil nicht gefundener Fehler abschneidet. Die Farben der Teilkörper entspricht der Farbe in obiger Liste.
4.) Schlussbemerkungen
Über die tatsächlich gefundenen Fehler kann man nichts sagen sondern nur über die Anzahlen, und diese sind ja nicht absolut sondern nur statistische Werte. Es gibt in der Praxis sicher Fehler, die einfacher zu finden sind als andere. Das war hier ausdrücklich nicht zu berücksichtigen. Aber es ist trotzdem nicht unrealistisch so zu rechnen. Man kann sich vorstellen, dass die einfach zu findenden Fehler sich nahe der hellgrauen Ecke befinden und daher von allen gefunden wurden, die schwer zu findenden Fehler dürften dann nahe der dunkelgrauen Ecke liegen.An dem Schnittmodell sieht man noch etwas anderes, nämliche eine Gleichbehandlung aller drei Personen, d.h. die Abfolge der Fehlerermittlung ist unbedeutend. Man muss zum gleichen Ergebnis gelangen, wenn zunächst Christa und Berta mit dem Korrekturlesen angefangen hätten und Anton danach seine Fehlersuche gestartet hätte.
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