1.) die Aufgabe
Es soll durch Addition und/oder Subtraktion der drei gewürfelten Zahlen die kleinstmögliche Zahl gebildet werden.
In dem obigen Wurfergebnis kommt man auf $3-1-1=1$.
Die Frage ist also: nach welcher Methode kann man immer diesen kleinsten Wert erzielen
und wie groß ist der Erwartungswert, also der Mittelwert dieser kleinsten Zahl bei sehr vielen Versuchen.
2.) Ungleichungen
Wenn man die Wurfzahlen der drei Würfel nach aufsteigenden Werten sortiert und dann mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet,
dann kann man schreiben
$$
a \le b \le c\tag{1}
$$
Alle möglichen Kombinationen von Additionen und Subtraktionen haben dann folgende Beziehung:
$$
|a+b-c| \le |a-b+c| \le |a-b-c| \le |a+b+c|\tag{2}
$$
was noch zu beweisen ist.
Dazu nimmt man zunächst die ersten beiden Terme zum Quadrat:
$$\begin{align}
(a+b-c)^2 &\le (a-b+c)^2 \\
a^2 + ab - ac + ab + b^2 - bc - ac - bc + c^2 &\le a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc + ac - bc + c^2 \\
ab - ac + ab - ac &\le - ab + ac - ab + ac \\
4ab &\le 4ac \\
b &\le c
\end{align}$$
Auf die gleiche Weise geht man mit dem 2. und 3. Term um:
$$\begin{align}
(a-b+c)^2 &\le (a-b-c)^2 \\
a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc + ac - bc + c^2 &\le a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc + c^2 \\
ac - bc + ac - bc &\le - ac + bc - ac + bc \\
4ac &\le 4bc \\
a &\le b
\end{align}$$
Und zuletzt noch der 3. und 4. Term:
$$\begin{align}
(a-b-c)^2 &\le (a+b+c)^2 \\
a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc + c^2 &\le a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 \\
-ab - ac - ab - ac &\le + ab + ac + ab + bc + ac \\
0 &\le 4ac + 4ab \\
0 &\le c + b
\end{align}$$
Damit ist die Beziehung (2) bewiesen und daraus folgt:
$$\rand{
\text{wenn }a \le b \le c\text{ ist der gesuchte kleinste Term }|a+b-c|
}\tag{3}$$
3.) alle Kombinationen
Bei drei Würfel mit je sechs Möglichkeiten gibt es
$$\rand{
\text{alle Kombinationen}=6^3=216}$$
Mit einem passenden Programm kann man alle diese Möglichkeiten durchgehen,
den Wert des kleinsten Terms bestimmen und alle diese Terme aufaddieren.
Zuletzt muss die Summe durch die Anzahl der Möglichkeiten geteilt werden und damit ist die Antwort auf die Rätselfrage gefunden.
aber es geht auch ohne Programm, sogar ohne Rechner.
4.) die sortierten verschiedenen Kombinationen
Mit $n=6$ Möglichkeiten und $k=3$ Würfel ergibt sich:
$$\rand{
\text{sortiert verschiedene Kombinationen}=\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!\,k!}={n+k-1 \choose k}=\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{6 \choose 3}\!\!\right)=56
}$$
Das ist eine noch von Hand zu bewältigende Anzahl und passt auf eine Papierseite.
Man schreibt in die erste Zeile die kleinste beim Würfeln mögliche Zahlenkombination
⚀⚀⚀.
Dahinter den Wert des Terms gemäß (3), also in diesem Fall $|1+1-1|=1$.
Die nächste Spalte soll die Anzahl dieser Kombination innerhalb aller Möglichkeiten enthalten.
Das ist in diesem Fall auch $1$, weil alle Würfel den gleichen Wert haben.
Sollten nur zwei Würfel den gleichen Wert haben, so sind drei Auftreten dieser sortierten Möglichkeit in der Gesamtzahl enthalten,
nämlich die beiden gleichen Werte 1.) links und in der Mitte, 2.) links und rechts und 3.) in der Mitte und rechts.
Wenn alle Werte voneinander verschieden sind ist die Häufigkeit in der Gesamtzahl sogar sechs, nämlich
$$
a b c\quad a c b\quad b a c\quad b c a\quad c a b\quad c b a
$$
In der zweiten Zeile erhöht man den Wert des rechten Würfels um eins und erhält
⚀⚀⚁.
Das geht in den folgenden Zeilen so weiter bis
⚀⚀⚅.
Beim nächsten Schritt wird der Wert des mittleren Würfels erhöht und der gleiche Wert gilt dann auch für den rechten Würfel.
Nur so ist immer eine sortierte Reihenfolge vorhanden.
Es gibt in der Tabelle noch eine letzte Spalte mit dem Produkt aus dem jeweiligen Term und der Häufigkeit des Auftretens.
Diese Zahlen müssen an Ende noch über die ganze Tabelle aufaddiert werden.
Hier folgt die Ausgabe der Tabelle, die allerdings nicht von Hand sondern mit einem kleinen Programm erzeugt und ausgegeben wird:
| Nr. | sortierter Wurf | Term | Häufigkeit | Produkt |
|---|
| a b c | |a+b-c| | dieses Wurfs | Term ⋅ Würfe |
|---|
| 1 | ⚀⚀⚀ | 1 | 1 | 1 |
| 2 | ⚀⚀⚁ | 0 | 3 | 0 |
| 3 | ⚀⚀⚂ | 1 | 3 | 3 |
| 4 | ⚀⚀⚃ | 2 | 3 | 6 |
| 5 | ⚀⚀⚄ | 3 | 3 | 9 |
| 6 | ⚀⚀⚅ | 4 | 3 | 12 |
| 7 | ⚀⚁⚁ | 1 | 3 | 3 |
| 8 | ⚀⚁⚂ | 0 | 6 | 0 |
| 9 | ⚀⚁⚃ | 1 | 6 | 6 |
| 10 | ⚀⚁⚄ | 2 | 6 | 12 |
| 11 | ⚀⚁⚅ | 3 | 6 | 18 |
| 12 | ⚀⚂⚂ | 1 | 3 | 3 |
| 13 | ⚀⚂⚃ | 0 | 6 | 0 |
| 14 | ⚀⚂⚄ | 1 | 6 | 6 |
| 15 | ⚀⚂⚅ | 2 | 6 | 12 |
| 16 | ⚀⚃⚃ | 1 | 3 | 3 |
| 17 | ⚀⚃⚄ | 0 | 6 | 0 |
| 18 | ⚀⚃⚅ | 1 | 6 | 6 |
| 19 | ⚀⚄⚄ | 1 | 3 | 3 |
| 20 | ⚀⚄⚅ | 0 | 6 | 0 |
| 21 | ⚀⚅⚅ | 1 | 3 | 3 |
| 22 | ⚁⚁⚁ | 2 | 1 | 2 |
| 23 | ⚁⚁⚂ | 1 | 3 | 3 |
| 24 | ⚁⚁⚃ | 0 | 3 | 0 |
| 25 | ⚁⚁⚄ | 1 | 3 | 3 |
| 26 | ⚁⚁⚅ | 2 | 3 | 6 |
| 27 | ⚁⚂⚂ | 2 | 3 | 6 |
| 28 | ⚁⚂⚃ | 1 | 6 | 6 |
| 29 | ⚁⚂⚄ | 0 | 6 | 0 |
| 30 | ⚁⚂⚅ | 1 | 6 | 6 |
| 31 | ⚁⚃⚃ | 2 | 3 | 6 |
| 32 | ⚁⚃⚄ | 1 | 6 | 6 |
| 33 | ⚁⚃⚅ | 0 | 6 | 0 |
| 34 | ⚁⚄⚄ | 2 | 3 | 6 |
| 35 | ⚁⚄⚅ | 1 | 6 | 6 |
| 36 | ⚁⚅⚅ | 2 | 3 | 6 |
| 37 | ⚂⚂⚂ | 3 | 1 | 3 |
| 38 | ⚂⚂⚃ | 2 | 3 | 6 |
| 39 | ⚂⚂⚄ | 1 | 3 | 3 |
| 40 | ⚂⚂⚅ | 0 | 3 | 0 |
| 41 | ⚂⚃⚃ | 3 | 3 | 9 |
| 42 | ⚂⚃⚄ | 2 | 6 | 12 |
| 43 | ⚂⚃⚅ | 1 | 6 | 6 |
| 44 | ⚂⚄⚄ | 3 | 3 | 9 |
| 45 | ⚂⚄⚅ | 2 | 6 | 12 |
| 46 | ⚂⚅⚅ | 3 | 3 | 9 |
| 47 | ⚃⚃⚃ | 4 | 1 | 4 |
| 48 | ⚃⚃⚄ | 3 | 3 | 9 |
| 49 | ⚃⚃⚅ | 2 | 3 | 6 |
| 50 | ⚃⚄⚄ | 4 | 3 | 12 |
| 51 | ⚃⚄⚅ | 3 | 6 | 18 |
| 52 | ⚃⚅⚅ | 4 | 3 | 12 |
| 53 | ⚄⚄⚄ | 5 | 1 | 5 |
| 54 | ⚄⚄⚅ | 4 | 3 | 12 |
| 55 | ⚄⚅⚅ | 5 | 3 | 15 |
| 56 | ⚅⚅⚅ | 6 | 1 | 6 |
| Summen: | 216 | 336 |
|---|
Nun ist es leicht, die Rätselfrage zu beantworten.
Der Erwartungswert ist der Mittelwert aller Kombinationen.
Die Summe aller Werte liegt mit $336$ vor.
Die Anzahl aller Kombinationen war schon vorher bekannt und ist hier am Ende der Tabelle nochmal bestätigt worden.
$$\rand{
\text{Erwartungswert} =\frac{336}{216}= 1 \frac59
}$$
