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Lösung des Preisrätsels vom Dezember 2012:
Planfigur Die Erde in der Schlinge
$\frac{\alpha}{2\pi}=\frac{b}{2\pi r}\;\Rightarrow\;\alpha=\frac{b}{r}$ und $\tan\alpha=\frac{t}{r}\;\Rightarrow\;\tan\frac{b}{r}=\frac{t}{r}$ mit $b = t - z$
z ist die halbe Verlängerung des Seils.
Daraus lässt sich $t$ und anschließend $h$ bestimmen, z.B. mit dem Solver von EXCEL.
Besser ist, folgende Näherungen zu benutzen: $\tan x\approx x+\frac13x^3$ und $\sqrt{1+\varepsilon}\approx1+\frac\varepsilon2$
Das Ergebnis ist dann $$\textstyle{h=\sqrt[3]{\frac98z^2r}=121,43\;\text{m}}$$ nochmal zurück zu diesem Rätsel

Lösung des Preisrätsels vom November 2012:
Rätselbild: Naturwunder Naturwunder

Der Name des abgebildeten Naturwunders links oben ist Landscape Arch und liegt im Arches-Nationalpark in Utah (USA), Koordinaten: 38,790556° Nord und 109,607222° West).
Die Spannweite wird mit 88 Meter angegeben und ist der längste natürliche Bogen in den USA.
Weltweit steht er auf dem Zweiten Platz nach 仙人桥 (Feen-Brücke) in China (24,687723° Nord und 106,799984° West) mit ca. 120 Meter (Bild links unten).

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Lösung des Preisrätsels vom Oktober 2012:
Rätselbild: Optische Täuschung Optische Täuschung

hier sind die Antworten die in diesem Monat gewonnen haben.

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Lösung des Preisrätsels vom September 2012:
Rätselbild: Astro-Symbole Astro-Symbolik

1Asteroid (4) Vesta
2Opposition
3Aufsteigender Knoten
4Asteroid (2) Pallas
5Zwergplanet (1) Ceres
6Tierkreiszeichen Fische
7Monas Hieroglyphica


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Lösung des Preisrätsels vom August 2012:
Rätselbild: Pythagoräisches Dreieck Fast gleichschenklige Pythagoräische Dreiecke

Das 20. Folgenglied ist 1235216565974040

Das Verhältnis $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_n}}$ mit $n$ gegen unendlich ist:
$2\cdot\sqrt{2} + 3= 5,82842712474619...$
Ein Bildungsgesetz für ein Folgeglied ist:
$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\\c_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&2\\2&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\\c_n\end{pmatrix}$
Bis zum 100. Folgeglied siehe hier.

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Lösung des Preisrätsels vom Juli 2012:
Rätselbild: Fraktalantenne Fraktalantenne
Fraktalantennen sind Antennen, die durch die Verwendung fraktaler Strukturen eine breitbandige Sende- und Empfangsqualität erreichen. Diese Art von Antennen findet sehr häufig in Mobiltelefonen Anwendung, da hier viele verschiedene Funktechnologien (Bluetooth & WLAN, GSM, GPS, etc.) nebeneinander arbeiten. Da jede dieser Technologien in ihrem eigenen Frequenzbereich arbeitet, würde man ebenso viele verschiedene Antennen benötigen, was aber aufgrund der beengten Platzverhältnisse in einem Mobilgerät nicht möglich ist. Dank der Selbstähnlichkeit eines Fraktals ist für jede Wellenlänge ein Bereich mit gutem Wirkungsgrad vorhanden.
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Lösung des Preisrätsels vom Juni 2012:
Rätselbild: Stern Wabenraster
Fügt man dem Wabenraster noch die Mittelpunkte der Waben hinzu so erhält man ein Dreiecksraster, welches durch Scherung und Streckung in ein Quadratraster verwandelt werden kann (siehe Zeichnung links).
Nun zählt man die Rasterpunkte auf dem Umfang $R$, das sind 11 (rot), und die Rasterpunkte im Inneren des sternförmigen Polygons $I$, das sind 127 (grün).
Nach Satz von Pick gilt:
$A=I+\frac R2-1$ Daraus folgt: $A=131,5$ Quadrateinheiten. Eine Wabe hat die Fläche $A_0=3$ Quadrateinheiten.
Die Sternfläche hat daher die Fläche
$\frac A{A_0} = 43\frac56\;\text{Wabeneinheiten}$
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Lösung des Preisrätsels vom Mai 2012:
Rätselbild: Magnetron Das Magnetron
Das gesuchte elektrische Bauteil heißt Magnetron und wird zur Erzeugung von Mikrowellen benötigt. Heutzutage ist die Hauptanwendung der Mikrowellenherd.
Zwischen der zentralen Kathode und dem äußeren Anodenblock wird eine hohe Spannung von mehreren tausend Volt angelegt. Aus der geheizten Kathode treten Elektronen in den Vakuum-Innenraum aus und werden einerseits von dem elektrischen Feld (Spannung) und andererseits von dem dazu senkrechten magnetischen Feld (Dauermagnet) auf Spiralbahnen gezwungen (blau und grün). Am Anodeninnenrand befinden sich Hohlraumresonatoren, die maßgeblich die Frequenz bestimmen.
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Lösung des Preisrätsels vom April 2012:
Kalenderblatt freitag der 13. April 2012 Freitag der Dreizehnte
a.) nur Sonntag der 31. belegt genau 1/7 aller 31. und kommt im Durchschnitt genau einmal im Jahr vor.

b.) Die angegebenen sechs Feiertage: 1.1, 1.5, 3.10, 1.11, 25.12, 26.12 treten in einem vollständigen Zyklus des Sonnenkalenders von 400 Jahren an den sieben Wochentagen mit folgender Häufigkeit auf:
Mo Di Mi Do Fr Sa So Summe
 340   344   343   343   345   341   344  2400

Der Erwartungswert für die fünf Werktage bei Gleichverteilung wäre 2400*5/7 = 1714,29.
Tatsächlich ist die Anzahl 1715 und damit geringfügig höher. Also liegen die Feiertage ein wenig arbeitnehmerfreundlich.
Man muss allerdings 560 Jahre arbeiten bis der Unterschied einen ganzen Tag ausmacht.
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Lösung des Preisrätsels vom März 2012:
Das Tropische Jahr
Man kann das Tropische Jahr in gleichlange Zeitabschnitte teilen (grün). Die Flächenausschnitte der Ellipse sind dann gleich groß. Hier würde die Messung der Jahreslänge immer zum gleichen Zahlenwert führen. Die Jahresteilung nach gleichen Winkeln (rot) ist aber für unsere Jahreszeiten zuständig. Die Punkte F = Frühlingsanfang usw. pendeln im Laufe von 20940 Jahren einmal um die Punkte zeitlich konstanter Teilung (grün). Wenn sich z.B. der Frühlingspunkt gegenüber dem zeitlich festen Raster bewegt, ist er im Folgejahr nicht mehr an der gleichen Stelle und deshalb ergibt sich für die alte Messmethode der tropischen Jahreslänge ein anderer Wert.
Die Länge der Jahreszeiten verändert sich ebenfalls mit der Periode 20940 Jahre.
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Lösung des Preisrätsels vom Februar 2012:
Rätselbild: Menschheit Die Weltbevölkerung geht baden
Folgende Daten werden benutzt:

Anzahl der Menschen: n = 7020000000
durchschnittliches Eintauchvolumen
gemittelt über alle Menschen: V = 0,055 m3
Erdradius: r = 6371000 m
Flächenanteil der Ozeane: p = 70,8 %
Ozeanfläche: A = 4 π r2 * p

Anstieg: h = n * V / A = 1 µm

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Lösung des Preisrätsels vom Januar 2012:
Euroland 10 Jahre Euroland
1.) Griechenland: Eleftherios Venizelos,
1864-1936, griechischer Politiker
2.) Finnland: der finnische Wappenlöwe
3.) Belgien: das Porträt von König Albert II.
4.) Estland: der Kartenumriss von Estland
5.) Zypern: das antike Schiff von Kyrenia
6.) Italien: Kaiser Marcus Aurelius
7.) Österreich: Wiener Secessionsgebäude
8.) Litauen: Vytis, der Ritter mit gezogenem Schwert ist das Staatswappen des Landes

Litauen ist noch nicht Mitglied der Eurozone und deshalb ist die Münze noch voraussichtlich bis 2014 kein gültiges Zahlungsmittel.

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