Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Mai 2015

Zeigerstellungen einer Analoguhr

1.) Auswahl von potentiellen Zeitpunkten

Man startet mit der Zeigerstellung von 00:00:00 Uhr. Zu diesem Zeitpunkt sind der Stunden- und Minutenzeiger genau übereinander. Im Laufe von 12 Stunden wird eine solche Übereinstimmung in regelmäßigen zeitlichen Abständen 11 mal erfolgen. Also ist der zeitliche Abstand $$\sand{Intervall = \frac{12}{11} Stunden = 1\; Stunde\quad 5\; Minuten\quad 27,\overline{27}\; Sekunden}$$ Teilt man jedes Intervall in drei gleiche Teile so erhält man folgende Zeitpunkte:

Intervall
Punkt
Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Winkel [°]
Minute
Winkel [°]
Sekunde
Winkelabweichung [°]
Sekundenzeiger
$0$ 0,0000 00:00:00,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 (0)
$\frac{1}{3}$ 0,0152 00:21:49,09 10,9091 130,9091 294,5455 43,6364 (4)
$\frac{2}{3}$ 0,0303 00:43:38,18 21,8182 261,8182 229,0909 87,2727 (8)
$1$ 0,0455 01:05:27,27 32,7273 32,7273 163,6364 130,9091 (12)
$1$$\frac{1}{3}$ 0,0606 01:27:16,36 43,6364 163,6364 98,1818 174,5455 (16)
$1$$\frac{2}{3}$ 0,0758 01:49:05,45 54,5455 294,5455 32,7273 -141,8182 (-13)
$2$ 0,0909 02:10:54,55 65,4545 65,4545 327,2727 -98,1818 (-9)
$2$$\frac{1}{3}$ 0,1061 02:32:43,64 76,3636 196,3636 261,8182 -54,5455 (-5)
$2$$\frac{2}{3}$ 0,1212 02:54:32,73 87,2727 327,2727 196,3636 -10,9091 (-1)
$3$ 0,1364 03:16:21,82 98,1818 98,1818 130,9091 32,7273 (3)
$3$$\frac{1}{3}$ 0,1515 03:38:10,91 109,0909 229,0909 65,4545 76,3636 (7)
$3$$\frac{2}{3}$ 0,1667 04:00:00,00 120,0000 0,0000 0,0000 120,0000 (11)
$4$ 0,1818 04:21:49,09 130,9091 130,9091 294,5455 163,6364 (15)
$4$$\frac{1}{3}$ 0,1970 04:43:38,18 141,8182 261,8182 229,0909 -152,7273 (-14)
$4$$\frac{2}{3}$ 0,2121 05:05:27,27 152,7273 32,7273 163,6364 -109,0909 (-10)
$5$ 0,2273 05:27:16,36 163,6364 163,6364 98,1818 -65,4545 (-6)
$5$$\frac{1}{3}$ 0,2424 05:49:05,45 174,5455 294,5455 32,7273 -21,8182 (-2)
$5$$\frac{2}{3}$ 0,2576 06:10:54,55 185,4545 65,4545 327,2727 21,8182 (2)
$6$ 0,2727 06:32:43,64 196,3636 196,3636 261,8182 65,4545 (6)
$6$$\frac{1}{3}$ 0,2879 06:54:32,73 207,2727 327,2727 196,3636 109,0909 (10)
$6$$\frac{2}{3}$ 0,3030 07:16:21,82 218,1818 98,1818 130,9091 152,7273 (14)
$7$ 0,3182 07:38:10,91 229,0909 229,0909 65,4545 -163,6364 (-15)
$7$$\frac{1}{3}$ 0,3333 08:00:00,00 240,0000 0,0000 0,0000 -120,0000 (-11)
$7$$\frac{2}{3}$ 0,3485 08:21:49,09 250,9091 130,9091 294,5455 -76,3636 (-7)
$8$ 0,3636 08:43:38,18 261,8182 261,8182 229,0909 -32,7273 (-3)
$8$$\frac{1}{3}$ 0,3788 09:05:27,27 272,7273 32,7273 163,6364 10,9091 (1)
$8$$\frac{2}{3}$ 0,3939 09:27:16,36 283,6364 163,6364 98,1818 54,5455 (5)
$9$ 0,4091 09:49:05,45 294,5455 294,5455 32,7273 98,1818 (9)
$9$$\frac{1}{3}$ 0,4242 10:10:54,55 305,4545 65,4545 327,2727 141,8182 (13)
$9$$\frac{2}{3}$ 0,4394 10:32:43,64 316,3636 196,3636 261,8182 -174,5455 (-16)
$10$ 0,4545 10:54:32,73 327,2727 327,2727 196,3636 -130,9091 (-12)
$10$$\frac{1}{3}$ 0,4697 11:16:21,82 338,1818 98,1818 130,9091 -87,2727 (-8)
$10$$\frac{2}{3}$ 0,4848 11:38:10,91 349,0909 229,0909 65,4545 -43,6364 (-4)
$11$ 0,5000 12:00:00,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 (0)

Die Winkelstellungen der Zeiger werden im Uhrzeigersinn beginnend bei 12 Uhr in Grad [°] angegeben. Die Berechnung ist einfach aus dem Bruchteil des Tages durchzuführen. Z.B. läuft der Stundenzeiger an einem Tag zwei Runden, also 720°. $$\sand{\begin{align} Winkel\;Stundenzeiger &= 720°\cdot Bruchteil\;des\;Tages\\ Winkel\;Minutenzeiger &= 720°\cdot 12\cdot Bruchteil\;des\;Tages\\ Winkel\;Sekundenzeiger &= 720°\cdot 12\cdot 60\cdot Bruchteil\;des\;Tages\end{align}}$$ Winkel, die größer als 360° sind, werden auf einen Bereich unter 360° reduziert.

Die grau markierten Zeilen sind guten Kandidaten für identische Winkelstellungen, weil sie ja ganzzahlige Intervall-Punkte haben und demnach Stunden- und Minutenzeiger mit gleicher Winkelstellung aufweisen. Die nicht immer gleiche Winkelstellung des Sekundenzeigers wird in der Winkelabweichung ausgegeben. Positive Abweichungen bedeuten, dass der Sekundenzeiger zu weit gelaufen ist.

Die übrigen Zeilen sind guten Kandidaten für eine Sternstellung der drei Zeiger. Sicher sind die Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger exakt 120°. Auch hier gibt es für den Sekundenzeiger positive und negative Abweichungen von der idealen Sternkonfiguration.

Es fällt auf, das alle Winkelabweichungen des Sekundenzeigers Vielfache von $10,\overline{90}° = \frac{120°}{11}$ sind. Diese Vielfache sind bei der Winkelabweichung zusätzlich in Klammern angegeben. Bei aufeinander folgenden Zeilen wachsen die Vielfachen um $4$. Wird der Wert von $\frac{33}2$ überschritten, so ist 33 abzuziehen. Der Grund dafür ist leicht einzusehen. Wenn die Abweichung $\frac{120°}{11}\cdot\frac{33}2=180°$ überschritten wird ist der Weg kürzer, wenn man den Ergänzungswinkel zu 360° nimmt, den Sekundenzeiger also in der anderen Richtung annähert.

2.) Verbesserung der Zeitpunkte

Natürlich sind die in der obigen Liste aufgeführten Zeitpunkte bei weitem noch nicht beste Lösungen, wenn man mal von dem Startwert in der ersten Zeile absieht. In allen anderen Fällen steht der Sekundenzeiger relativ weit von seiner gewünschten Position entfernt. Bessere Lösungen erhält man, wenn man den Sekundenzeiger so weit verdreht, dass er den Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger halbiert. Dabei gilt für ganzzahlige Intervall-Punkten der sehr kleine Winkel nahe bei 0°, bei den anderen Intervall-Punkten der große Winkel nahe bei 240°. Dass die Winkel nicht genau 0° bzw. 240° sind liegt natürlich daran, dass durch die Drehung des Sekundenzeigers auch die beiden anderen Zeiger wenn auch sehr wenig, aber unterschiedlich viel sich bewegen. Die beste Näherung unter den obigen Kandidaten wird also die sein, bei der der Sekundenzeiger möglichst wenig gedreht werden muss. Aus der obigen Liste ist das abzulesen: für ganzzahlige Intervall-Punkte ist das bei $3$ und $8$, bei den anderen bei $2\frac23$ und $8\frac13$. Alle anderen Näherungen sind schlechter, weil der Sekundenzeiger mehr gedreht werden muss, und fallen daher für die Rätsellösung aus.

Wenn man nun glaubt, dass damit das Ziel einer besten Näherung mit dem kleinsten quadratischen Mittel (Root Mean Square) schon erreicht sei, hat sich getäuscht. Man ist sicherlich schon sehr nahe dran, aber nicht die Position auf dem halben Winkel ist optimal sondern ein bisschen näher zum Stundenzeiger ist besser.
Der Quadratische Mittelwert berechnet sich zu: $$\sand{RMS=\sqrt{\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i^2}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}n}}$$ wobei in diesem Fall die Werte von x1, x2 und x3 sich berechnen aus dem Betrag der drei Winkeldifferenzen der Zeiger zueinander vermindert um den Zielwert, in diesem Fall $0°$ oder $120°$ Ich mache mir das Leben leicht, indem ich ausprobiere, wo der Punkt mit dem kleinsten quadratischen Mittel sich befindet. Die folgenden Tabellen zeigen das Ergebnis der Suche in der Nähe des Intervall-Zeitpunktes $3$:

Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Minute
Sekunde
RMS [°]
0,136299941277326169 03:16:16,3149263609810016 98,13595771967484168
97,63149263609810016
97,88955816588600960
0,3567424740248623356475881
0,136299941277326170 03:16:16,3149263609810880 98,13595771967484240
97,63149263609810880
97,88955816588652800
0,3567424740248623356475858
0,136299941277326171 03:16:16,3149263609811744 98,13595771967484312
97,63149263609811744
97,88955816588704640
0,3567424740248623356475840
0,136299941277326172 03:16:16,3149263609812608 98,13595771967484384
97,63149263609812608
97,88955816588756480
0,3567424740248623356475829
0,136299941277326173 03:16:16,3149263609813472 98,13595771967484456
97,63149263609813472
97,88955816588808320
0,3567424740248623356475821
0,136299941277326174 03:16:16,3149263609814336 98,13595771967484528
97,63149263609814336
97,88955816588860160
0,3567424740248623356475819
0,136299941277326175 03:16:16,3149263609815200 98,13595771967484600
97,63149263609815200
97,88955816588912000
0,3567424740248623356475821
0,136299941277326176 03:16:16,3149263609816064 98,13595771967484672
97,63149263609816064
97,88955816588963840
0,3567424740248623356475829
0,136299941277326177 03:16:16,3149263609816928 98,13595771967484744
97,63149263609816928
97,88955816589015680
0,3567424740248623356475840
0,136299941277326178 03:16:16,3149263609817792 98,13595771967484816
97,63149263609817792
97,88955816589067520
0,3567424740248623356475857
0,136299941277326179 03:16:16,3149263609818656 98,13595771967484888
97,63149263609818656
97,88955816589119360
0,3567424740248623356475879

Der Zeitpunkt mit dem kleinsten RMS in der grüne Zeile ist also gefunden worden. Wenn man den gefundenen Dezimalbruch noch genauer berechnet erhält man $$0,13629994127732617401158348930520667828027016357898... $$ der in einen endlichen Kettenbruch verwandelt so aussieht: $$[0;7,2,1,31,1,3,10,1,1,3,1,1,1,2]=\frac{277601}{2036692}$$ Wie es zu den Zahlenwerten von Zähler und Nenner kommt, habe ich nicht weiter verfolgt. Wenn sich jemand daran macht, dies zu erklären, wäre ich an dem Ergebnis interessiert.

Eine gleichartige aufwendige Suche für einen Zeitpunkt in der Nähe vom Intervall-Punkt $8$ ist nicht erforderlich. Zur Bestimmung des zugehörigen Bruchteil des Tages reicht es, die Symmetrie der Werte in der ersten Tabelle oben anzusehen. Daraus folgt: $$erster\;Wert\;(siehe\;grüne\;Zeile\;oben)=0,136299941277326174\\ zweiter\;Wert=0,5 - erster\;Wert=0,363700058722673826$$ Auch die gleichartigen Zeigerstellungen jedoch in der 2. Tageshälfte sind leicht zu berechnen: $$dritter\;Wert=0,5 + erster\;Wert=0,636299941277326174\\ vierter\;Wert=1 - erster\;Wert=0,863700058722673826$$ Damit sind alle Zeiten als Bruchteil des Tages für die beste Annäherung an eine Stellung mit übereinander liegenden Zeigern bestimmt.

Nun muss das gleiche noch für die Sternstellung der Zeiger erfolgen, beginnend mit der Optimierung des Intervall-Punktes $2\frac23$:

Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Minute
Sekunde
RMS [°]
0,121233352907557937 02:54:34,5616912130057568 87,28801409344171464
327,45616912130057568
207,37014727803454080
0,1189141580082874452158788
0,121233352907557938 02:54:34,5616912130058432 87,28801409344171536
327,45616912130058432
207,37014727803505920
0,1189141580082874452158721
0,121233352907557939 02:54:34,5616912130059296 87,28801409344171608
327,45616912130059296
207,37014727803557760
0,1189141580082874452158670
0,121233352907557940 02:54:34,5616912130060160 87,28801409344171680
327,45616912130060160
207,37014727803609600
0,1189141580082874452158632
0,121233352907557941 02:54:34,5616912130061024 87,28801409344171752
327,45616912130061024
207,37014727803661440
0,1189141580082874452158611
0,121233352907557942 02:54:34,5616912130061888 87,28801409344171824
327,45616912130061888
207,37014727803713280
0,1189141580082874452158603
0,121233352907557943 02:54:34,5616912130062752 87,28801409344171896
327,45616912130062752
207,37014727803765120
0,1189141580082874452158611
0,121233352907557944 02:54:34,5616912130063616 87,28801409344171968
327,45616912130063616
207,37014727803816960
0,1189141580082874452158632
0,121233352907557945 02:54:34,5616912130064480 87,28801409344172040
327,45616912130064480
207,37014727803868800
0,1189141580082874452158670
0,121233352907557946 02:54:34,5616912130065344 87,28801409344172112
327,45616912130065344
207,37014727803920640
0,1189141580082874452158721
0,121233352907557947 02:54:34,5616912130066208 87,28801409344172184
327,45616912130066208
207,37014727803972480
0,1189141580082874452158788
$$erster\;Wert\;(siehe\;grüne\;Zeile\;oben)=0,121233352907557942\\ zweiter\;Wert=0,5 - erster\;Wert=0,378766647092442058\\ dritter\;Wert=0,5 + erster\;Wert=0,621233352907557942\\ vierter\;Wert=1 - erster\;Wert=0,878766647092442058$$ Es ist nicht verwunderlich, dass der RMS-Wert bei fast Sternstellung dreimal besser ist als bei der besten Annäherung bei Zeigerstellungen mit fast gleichen Winkeln, denn auch die Korrektur des Sekundenzeigers ist hier dreimal geringer.

Auch hier gibt es für den noch etwas genauer berechneten Dezimalbruch $$0,121233352907557941996138836898264440573243278807... $$ eine Kettenbruchentwicklung: $$[0;8,4,43,129,1,2,1,2]=\frac{246915}{2036692}$$

3.) Zusammenfassung der Rätsel-Lösung

Die Zeiten für genau übereinander liegende Zeiger sind 00:00:00,00000000 und 12:00:00,00000000

Die Zeiten für die beste Annäherung an diese Zeigerstellung sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Winkel [°]
Minute
Winkel [°]
Sekunde
RMS [°]
0,136299941277326 03:16:16,31492636 98,1359577197 97,6314926361 97,8895581659 0,356742474025
0,363700058722674 08:43:43,68507364 261,8640422803 262,3685073639 262,1104418341 0,356742474025
0,636299941277326 15:16:16,31492636 98,1359577197 97,6314926361 97,8895581659 0,356742474025
0,863700058722674 20:43:43,68507364 261,8640422803 262,3685073639 262,1104418341 0,356742474025

Es gibt keine Zeiten für eine exakte Sternstellung.

Die Zeiten für die beste Annäherung an diese Zeigerstellung sind in der folgenden Tabelle aufgelistet:

Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Winkel [°]
Minute
Winkel [°]
Sekunde
RMS [°]
0,121233352907558 02:54:34,56169121 87,2880140934 327,4561691213 207,3701472780 0,118914158008
0,378766647092442 09:05:25,43830879 272,7119859066 32,5438308787 152,6298527220 0,118914158008
0,621233352907558 14:54:34,56169121 87,2880140934 327,4561691213 207,3701472781 0,118914158008
0,878766647092442 21:05:25,43830879 272,7119859066 32,5438308787 152,6298527219 0,118914158008

4.) Anhang

Mit den Erkenntnissen der obigen Ergebnisse kann man die erste Tabelle der potentiellen Zeitpunkte, die ja nur erste Näherungen erbrachte, nun verbessern. Für alle Zeilen lässt sich nun die beste Näherung exakt als Bruch angeben, deren Qualität durch RMS als Vielfaches von 0,118914158008...° angegeben ist. In einigen Fällen lässt sich der Bruch kürzen, aber hier in der Tabelle sind alle Brüche mit dem einheitlichen Hauptnenner $2036692$ dargestellt.
Der $Zähler$ des Bruchteils des Tages lässt sich wie folgt berechnen: $$Zähler=3\cdot Intervallpunkt\cdot 30686+\text{int}((3,99+3\cdot Intervallpunkt)/8)\cdot 1427$$
Intervall
Punkt
Bruchteil
des Tages
Uhrzeit Winkel [°]
Stunde
Winkel [°]
Minute
Winkel [°]
Sekunde
RMS
in 0,1189...°
$0$ $0$ 00:00:00 $0$ $0$ $0$ 0
$\frac{1}{3}$ $\frac{30686}{2036692}$ 00:21:41$\frac{1534108}{2036692}$ $10$$\frac{1727000}{2036692}$ $130$$\frac{357080}{2036692}$ $250$$\frac{1057880}{2036692}$ 4
$\frac{2}{3}$ $\frac{61372}{2036692}$ 00:43:23$\frac{1031524}{2036692}$ $21$$\frac{1417308}{2036692}$ $260$$\frac{714160}{2036692}$ $141$$\frac{79068}{2036692}$ 8
$1$ $\frac{92058}{2036692}$ 01:05:05$\frac{528940}{2036692}$ $32$$\frac{1107616}{2036692}$ $30$$\frac{1071240}{2036692}$ $31$$\frac{1136948}{2036692}$ 12
$1$$\frac{1}{3}$ $\frac{122744}{2036692}$ 01:26:47$\frac{26356}{2036692}$ $43$$\frac{797924}{2036692}$ $160$$\frac{1428320}{2036692}$ $282$$\frac{158136}{2036692}$ 16
$1$$\frac{2}{3}$ $\frac{154857}{2036692}$ 01:49:29$\frac{615052}{2036692}$ $54$$\frac{1515672}{2036692}$ $296$$\frac{1894528}{2036692}$ $175$$\frac{1653620}{2036692}$ 13
$2$ $\frac{185543}{2036692}$ 02:11:11$\frac{112468}{2036692}$ $65$$\frac{1205980}{2036692}$ $67$$\frac{214916}{2036692}$ $66$$\frac{674808}{2036692}$ 9
$2$$\frac{1}{3}$ $\frac{216229}{2036692}$ 02:32:52$\frac{1646576}{2036692}$ $76$$\frac{896288}{2036692}$ $197$$\frac{571996}{2036692}$ $316$$\frac{1732688}{2036692}$ 5
$2$$\frac{2}{3}$ $\frac{246915}{2036692}$ 02:54:34$\frac{1143992}{2036692}$ $87$$\frac{586596}{2036692}$ $327$$\frac{929076}{2036692}$ $207$$\frac{753876}{2036692}$ 1
$3$ $\frac{277601}{2036692}$ 03:16:16$\frac{641408}{2036692}$ $98$$\frac{276904}{2036692}$ $97$$\frac{1286156}{2036692}$ $97$$\frac{1811756}{2036692}$ 3
$3$$\frac{1}{3}$ $\frac{308287}{2036692}$ 03:37:58$\frac{138824}{2036692}$ $108$$\frac{2003904}{2036692}$ $227$$\frac{1643236}{2036692}$ $348$$\frac{832944}{2036692}$ 7
$3$$\frac{2}{3}$ $\frac{338973}{2036692}$ 03:59:39$\frac{1672932}{2036692}$ $119$$\frac{1694212}{2036692}$ $357$$\frac{2000316}{2036692}$ $238$$\frac{1890824}{2036692}$ 11
$4$ $\frac{369659}{2036692}$ 04:21:21$\frac{1170348}{2036692}$ $130$$\frac{1384520}{2036692}$ $128$$\frac{320704}{2036692}$ $129$$\frac{912012}{2036692}$ 15
$4$$\frac{1}{3}$ $\frac{401772}{2036692}$ 04:44:03$\frac{1759044}{2036692}$ $142$$\frac{65576}{2036692}$ $264$$\frac{786912}{2036692}$ $23$$\frac{370804}{2036692}$ 14
$4$$\frac{2}{3}$ $\frac{432458}{2036692}$ 05:05:45$\frac{1256460}{2036692}$ $152$$\frac{1792576}{2036692}$ $34$$\frac{1143992}{2036692}$ $273$$\frac{1428684}{2036692}$ 10
$5$ $\frac{463144}{2036692}$ 05:27:27$\frac{753876}{2036692}$ $163$$\frac{1482884}{2036692}$ $164$$\frac{1501072}{2036692}$ $164$$\frac{449872}{2036692}$ 6
$5$$\frac{1}{3}$ $\frac{493830}{2036692}$ 05:49:09$\frac{251292}{2036692}$ $174$$\frac{1173192}{2036692}$ $294$$\frac{1858152}{2036692}$ $54$$\frac{1507752}{2036692}$ 2
$5$$\frac{2}{3}$ $\frac{524516}{2036692}$ 06:10:50$\frac{1785400}{2036692}$ $185$$\frac{863500}{2036692}$ $65$$\frac{178540}{2036692}$ $305$$\frac{528940}{2036692}$ 2
$6$ $\frac{555202}{2036692}$ 06:32:32$\frac{1282816}{2036692}$ $196$$\frac{553808}{2036692}$ $195$$\frac{535620}{2036692}$ $195$$\frac{1586820}{2036692}$ 6
$6$$\frac{1}{3}$ $\frac{585888}{2036692}$ 06:54:14$\frac{780232}{2036692}$ $207$$\frac{244116}{2036692}$ $325$$\frac{892700}{2036692}$ $86$$\frac{608008}{2036692}$ 10
$6$$\frac{2}{3}$ $\frac{616574}{2036692}$ 07:15:56$\frac{277648}{2036692}$ $217$$\frac{1971116}{2036692}$ $95$$\frac{1249780}{2036692}$ $336$$\frac{1665888}{2036692}$ 14
$7$ $\frac{648687}{2036692}$ 07:38:38$\frac{866344}{2036692}$ $229$$\frac{652172}{2036692}$ $231$$\frac{1715988}{2036692}$ $230$$\frac{1124680}{2036692}$ 15
$7$$\frac{1}{3}$ $\frac{679373}{2036692}$ 08:00:20$\frac{363760}{2036692}$ $240$$\frac{342480}{2036692}$ $2$$\frac{36376}{2036692}$ $121$$\frac{145868}{2036692}$ 11
$7$$\frac{2}{3}$ $\frac{710059}{2036692}$ 08:22:01$\frac{1897868}{2036692}$ $251$$\frac{32788}{2036692}$ $132$$\frac{393456}{2036692}$ $11$$\frac{1203748}{2036692}$ 7
$8$ $\frac{740745}{2036692}$ 08:43:43$\frac{1395284}{2036692}$ $261$$\frac{1759788}{2036692}$ $262$$\frac{750536}{2036692}$ $262$$\frac{224936}{2036692}$ 3
$8$$\frac{1}{3}$ $\frac{771431}{2036692}$ 09:05:25$\frac{892700}{2036692}$ $272$$\frac{1450096}{2036692}$ $32$$\frac{1107616}{2036692}$ $152$$\frac{1282816}{2036692}$ 1
$8$$\frac{2}{3}$ $\frac{802117}{2036692}$ 09:27:07$\frac{390116}{2036692}$ $283$$\frac{1140404}{2036692}$ $162$$\frac{1464696}{2036692}$ $43$$\frac{304004}{2036692}$ 5
$9$ $\frac{832803}{2036692}$ 09:48:48$\frac{1924224}{2036692}$ $294$$\frac{830712}{2036692}$ $292$$\frac{1821776}{2036692}$ $293$$\frac{1361884}{2036692}$ 9
$9$$\frac{1}{3}$ $\frac{863489}{2036692}$ 10:10:30$\frac{1421640}{2036692}$ $305$$\frac{521020}{2036692}$ $63$$\frac{142164}{2036692}$ $184$$\frac{383072}{2036692}$ 13
$9$$\frac{2}{3}$ $\frac{895602}{2036692}$ 10:33:12$\frac{2010336}{2036692}$ $316$$\frac{1238768}{2036692}$ $199$$\frac{608372}{2036692}$ $77$$\frac{1878556}{2036692}$ 16
$10$ $\frac{926288}{2036692}$ 10:54:54$\frac{1507752}{2036692}$ $327$$\frac{929076}{2036692}$ $329$$\frac{965452}{2036692}$ $328$$\frac{899744}{2036692}$ 12
$10$$\frac{1}{3}$ $\frac{956974}{2036692}$ 11:16:36$\frac{1005168}{2036692}$ $338$$\frac{619384}{2036692}$ $99$$\frac{1322532}{2036692}$ $218$$\frac{1957624}{2036692}$ 8
$10$$\frac{2}{3}$ $\frac{987660}{2036692}$ 11:38:18$\frac{502584}{2036692}$ $349$$\frac{309692}{2036692}$ $229$$\frac{1679612}{2036692}$ $109$$\frac{978812}{2036692}$ 4
$11$ $\frac{1018346}{2036692}$ 12:00:00 $0$ $0$ $0$ 0






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sehr gut gut befriedigend
ausreichend mangelhaft ungenügend