Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom März 2018

zwei merkwürdige Flächen

1.) die Koordinaten der sechs Punkte als Funktion von α

Die Schreibweise für Punkte kann unterschiedlich sein. In einem ebenen kartesischen Koordinatensystem sind aber immer zwei Koordinaten beteiligt die meistens mit $x$ und $y$ bezeichnet sind. Ein Punkt kann dann so geschrieben werden: $$ P_n(x_n,y_n) \quad \text{oder}\quad P_n(x_n|y_n) \quad \text{oder}\quad \overrightarrow{P_n}=\left(\matrix{x_n\\y_n}\right) $$ Die letzte Form nennt man auch Ortsvektor, also ein Vektor von $P(0,0)$ nach $P(x,y)$. Diese Form hat hier den Vorzug, weil man auch mit den Vektoren rechnen kann und die Übersichtlichkeit bei längeren Ausdrücken ist besser.

Die Punkte $P_0$ und $P_1$ sind festliegend und können deshalb einfach mit ihren festen Koordinaten als Ortsvektor beschrieben werden: $$\rand{ \overrightarrow{P_0}=\left(\matrix{x_0\\y_0}\right)=\left(\matrix{-1\\0}\right)}\tag{0} $$ $$\rand{ \overrightarrow{P_1}=\left(\matrix{x_1\\y_1}\right)=\left(\matrix{1\\0}\right)}\tag{1} $$ $P_2$ bewegt sich auf einem Kreisbogen mit dem Radius $r=\overline{P_0P_2}=2$ um $P_0$ herum und $P_3$ genauso mit gleichem Radius um $P_1$.

Die Parameterdarstellung eines Einheitskreises ist $$ \overrightarrow{Einheitskreis} = \left(\matrix{\cos\alpha\\\sin\alpha}\right) $$ und demzufolge ist die Parameterdarstellung von $P_2$ und $P_3$ mit den jeweiligen Winkeln $\beta$ und $\gamma$: $$\rand{\begin{align} \overrightarrow{P_2}=\overrightarrow{P_0}+r\cdot\overrightarrow{Einheitskreis}= \left(\matrix{x_2(\beta)\\y_2(\beta)}\right)=\left(\matrix{2\cdot\cos\beta-1\\2\cdot\sin\beta}\right) \\ \overrightarrow{P_3}=\overrightarrow{P_1}+r\cdot\overrightarrow{Einheitskreis}= \left(\matrix{x_3(\gamma)\\y_3(\gamma)}\right)=\left(\matrix{2\cdot\cos\gamma+1\\2\cdot\sin\gamma}\right) \end{align}}\tag{2}$$ Der Abstand von $P_2$ zu $P_3$ ist durch den Balken fixiert: $\overline{P_2P_3}=1$. Da der Balken eine volle Drehung macht wähle ich diesen Winkel $\alpha$ als Parameter für alle anderen Größen. Man kann mit Vektoren also schreiben: $$ \overrightarrow{P_2}+\overrightarrow{Einheitskreis}=\overrightarrow{P_3} \\ \left(\matrix{2\cdot\cos\beta-1\\2\cdot\sin\beta}\right)+\left(\matrix{\cos\alpha\\\sin\alpha}\right)=\left(\matrix{2\cdot\cos\gamma+1\\2\cdot\sin\gamma}\right) $$ Man schreibt nun die x- und y-Komponenten in zwei separate Gleichungen, die zur Bestimmung der Winkel $\beta$ und $\gamma$ dienen, in Abhängigkeit vom Winkel $\alpha$ $$ 2\cdot\cos\beta-1+\cos\alpha=2\cdot\cos\gamma+1 \\ 2\cdot\sin\beta+\sin\alpha=2\cdot\sin\gamma $$ und vereinfacht $$ \cos\beta-1+{\scriptstyle\frac12}\cos\alpha=\cos\gamma \\ \sin\beta+{\scriptstyle\frac12}\sin\alpha=\sin\gamma\tag{3} $$ Diese beiden Gleichungen können nun quadriert und anschließend addiert werden. Dabei verschwindet $\gamma$.
Zunächst die erste Gleichung $$ (\cos\beta-1+{\scriptstyle\frac12}\cos\alpha)^2=\cos^2\gamma \\ \cos^2\beta-\cos\beta+{\scriptstyle\frac12}\cos\beta\cos\alpha-\cos\beta+1-{\scriptstyle\frac12}\cos\alpha+{\scriptstyle\frac12}\cos\beta\cos\alpha-{\scriptstyle\frac12}\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}\cos^2\alpha=\cos^2\gamma \\ \cos^2\beta-2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}\cos^2\alpha=\cos^2\gamma \\ $$ und nun die zweite Gleichung $$ (\sin\beta+{\scriptstyle\frac12}\sin\alpha)^2=\sin^2\gamma \\ \sin^2\beta+\sin\beta\sin\alpha+{\scriptstyle\frac14}\sin^2\alpha=\sin^2\gamma \\ $$ Nach dem Addieren beider Gleichungen ist die rechte Seite $\cos^2\gamma+\sin^2\gamma=1$ $$ \cos^2\beta-2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}\cos^2\alpha+\sin^2\beta+\sin\beta\sin\alpha+{\scriptstyle\frac14}\sin^2\alpha=1 \\ 1-2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}+\sin\beta\sin\alpha=1 \\ -2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}+\sin\beta\sin\alpha=0 \\ -2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}=-\sin\beta\sin\alpha \\ -2\cos\beta+\cos\beta\cos\alpha-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac54}=-\sin\beta\sin\alpha \\ (2-\cos\alpha)\cos\beta-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=\sin\beta\sin\alpha $$ Diese Gleichung muss einmal nach $\cos\beta$ und einmal nach $\sin\beta$ aufgelöst werden. Dabei wird die Ersetzung $\cos^2\beta=1-\sin^2\beta$ bzw. $\sin^2\beta=1-\cos^2\beta$ benutzt. Der erste Schritt ist also eine Quadrierung. In beiden Fällen führt das auf eine quadratische Gleichung.
Hier zunächst die Berechnung von $\cos\beta$: $$ (2-\cos\alpha)^2\cos^2\beta+({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2-2(2-\cos\alpha)\cos\beta({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=\sin^2\beta\sin^2\alpha \\ (2-\cos\alpha)^2\cos^2\beta+({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2-2(2-\cos\alpha)\cos\beta({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=(1-\cos^2\beta)\sin^2\alpha \\ (2-\cos\alpha)^2\cos^2\beta+({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2-2(2-\cos\alpha)\cos\beta({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\beta\sin^2\alpha \\ (4-4\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\cos^2\beta-2(2-\cos\alpha)({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\cos\beta=\sin^2\alpha-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ 4({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\cos^2\beta-2(2-\cos\alpha)({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\cos\beta=\sin^2\alpha-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ \cos^2\beta-(1-{\scriptstyle\frac12}\cos\alpha)\cos\beta=\frac14\cdot\left(\frac{\sin^2\alpha}{ {\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha}-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\right) \\ \left(\cos\beta-({\scriptstyle\frac12}-{\scriptstyle\frac14}\cos\alpha)\right)^2=\frac14\cdot\left(\frac{\sin^2\alpha}{ {\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha}-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)+1-\cos\alpha+{\scriptstyle\frac14}\cos^2\alpha\right) \\ \left(\cos\beta-({\scriptstyle\frac12}-{\scriptstyle\frac14}\cos\alpha)\right)^2=\frac{\sin^2\alpha}{16}\cdot\left(\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1\right) \\ \cos\beta-({\scriptstyle\frac12}-{\scriptstyle\frac14}\cos\alpha)=\frac{\sin\alpha}{4}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1} \\ \cos\beta=\frac{\sin\alpha}{4}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1}+\frac12-\frac14\cos\alpha $$ Jetzt noch die Berechnung von $\sin\beta$: $$ (2-\cos\alpha)^2\cos^2\beta=\sin^2\beta\sin^2\alpha+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)+({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ (2-\cos\alpha)^2(1-\sin^2\beta)=\sin^2\beta\sin^2\alpha+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)+({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ ((2-\cos\alpha)^2+\sin^2\alpha)\sin^2\beta+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=(2-\cos\alpha)^2-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ (4-4\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\sin^2\beta+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=(2-\cos\alpha)^2-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ 4({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\sin^2\beta+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)=(2-\cos\alpha)^2-({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)^2 \\ 4({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)\sin^2\beta+2\sin\beta\sin\alpha({\scriptstyle\frac54}-\cos\alpha)={\scriptstyle\frac{39}{16}}-{\scriptstyle\frac32}\cos\alpha \\ \sin^2\beta+\frac12\sin\alpha\sin\beta=\frac1{16}\left(\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}\right) \\ \left(\sin\beta+\frac14\sin\alpha\right)^2=\frac1{16}\left(\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha\right) \\ \sin\beta=\frac14\sqrt{\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha}-\frac14\sin\alpha $$ Nun kann man die Koordinaten von $P_2$ und $P_3$ in Abhängigkeit von $\alpha$ angeben: $$\rand{\begin{align} \overrightarrow{P_2}=\left(\matrix{x_2(\alpha)\\y_2(\alpha)}\right)= \left(\matrix{\frac{\sin\alpha}{2}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1}-\frac12\cos\alpha\\ \frac12\sqrt{\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha}-\frac12\sin\alpha}\right) \\ \; \\ \overrightarrow{P_3}=\left(\matrix{x_3(\alpha)\\y_3(\alpha)}\right)= \left(\matrix{\frac{\sin\alpha}{2}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1}+\frac12\cos\alpha\\ \frac12\sqrt{\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha}+\frac12\sin\alpha}\right) \end{align}}\tag{4}$$ Die beiden Punkte $P_4$ und $P_5$ lassen sich leicht beschreiben, wenn man sich auf den Mittelpunkt von $\overline{P_2P_3}$ bezieht. Von dort sind beide rechtwinklig zu $\overline{P_2P_3}$ im Abstand $\sqrt{15}/2$, die Höhe der Dreiecke, positioniert. Daher kann man die Koordinaten so angeben: $$\rand{\begin{align} \overrightarrow{P_4}=\left(\matrix{x_4(\alpha)\\y_4(\alpha)}\right)= \left(\matrix{\frac{\sin\alpha}{2}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1}-\frac{\sin\alpha}{2}\sqrt{15} \\ \frac12\sqrt{\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha} +\frac{\cos\alpha}{2}\sqrt{15}}\right) \\ \; \\ \overrightarrow{P_5}=\left(\matrix{x_5(\alpha)\\y_5(\alpha)}\right)= \left(\matrix{\frac{\sin\alpha}{2}\cdot\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\alpha}-1}+\frac{\sin\alpha}{2}\sqrt{15}\\ \frac12\sqrt{\frac{39-24\cos\alpha}{5-4\cos\alpha}+\sin^2\alpha} -\frac{\cos\alpha}{2}\sqrt{15}}\right) \end{align}}\tag{5}$$

2.) die Flächenberechnung

Die Flächenberechnung mit einem Integral ist im Prinzip einfach. Es gilt die Formel: $$ A_{rot}=\oint \; y_4(\alpha)\cdot {x_4}'(\alpha) \; d\alpha \\ A_{grün}=\oint \; y_5(\alpha)\cdot {x_5}'(\alpha) \; d\alpha\tag{6} $$ Das sind geschlossene Integrale über den vollen Umfang. Die Funktionsgleichungen für $y_4(\alpha)$ und $y_5(\alpha)$ liegen in Gleichung (5) vor. Die Ableitung von $x_4(\alpha)$ und $x_5(\alpha)$ wurden mit dem kostenlosen Ableitungsrechner im Internet ermittelt: $$ {x_4}'(\alpha)=-\frac{16\sin^2\left(a\right)}{\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\left(a\right)}-1}\left(5-4\cos\left(a\right)\right)^2}+\frac{\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\left(a\right)}-1}\cos\left(a\right)}{2}-\frac{\sqrt{15}\cos\left(a\right)}{2} \\ {x_5}'(\alpha)=-\frac{16\sin^2\left(a\right)}{\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\left(a\right)}-1}\left(5-4\cos\left(a\right)\right)^2}+\frac{\sqrt{\frac{16}{5-4\cos\left(a\right)}-1}\cos\left(a\right)}{2}+\frac{\sqrt{15}\cos\left(a\right)}{2} $$ Ein ähnliches Hilfsmittel, der Integralrechner, ist ebenfalls im Internet kostenlos verfügbar und löst diese Integrale numerisch.
Man gibt in diesem Fall für die rote Fläche ein:


und für die grüne Fläche:


Bei "Optionen" muss die Integrationsvariable auf "a" gesetzt werden und die Integrationsgrenzen auf "0" bis "2*pi". Bei "Nur numerisch integrieren?" wird noch ein Haken gesetzt und dann geht es "Los!" Nach kurzer Rechenzeit kommt das Ergebnis: $$\rand{\begin{align} \text{rote Fläche:}&=7,476660029473394 \\ \text{grüne Fläche:}&=14,51448854565516 \end{align}}$$
Trotz der erfolgreichen Lösung des Rätsels möchte ich hier wieder einmal die Berechnung mit einem kleinen eigenen Programm demonstrieren. Man bestimmt den Wert der Fläche, indem man durch viele kleine Trapeze die Kurve annähert. Das ist quasi der Mittelwert aus der oberen und unteren Schranke durch Aufsummierung von Rechteckflächen, die einmal die Kurve mit einer Treppenfunktion außen und einmal innen annähern. Wenn die Anzahl der Schritte groß genug, also die Trapeze klein genug gewählt werden, ist das Ergebnis eine gute Näherung. Hier zunächst das kleine Programm in der Programmiersprache PHP:


Die Anwendung dieses Programms findet gleich hier statt, z.B. mit dem Aufruf: area(4,10000) für die rote Fläche, die der Punkt $P_4$ umläuft, mit der Schrittzahl 10000. Das Ergebnis ist dann auf etwa 8 signifikante Stellen genau, das ist das Doppelte der Anzahl der Nullen von Schrittzahl.

In der folgenden Tabelle sind pro Zeile die Schrittzahl und das Ergebnis des obigen Programms aufgelistet. Die Laufzeit steigt natürlich mit zunehmender Schrittzahl, ist aber bei den hier gewählten Schrittzahlen immer noch unter einer Sekunde. Die Berechnung findet nach dem Seitenaufruf auf dem Server statt (PHP ist Server seitig) und bedeutet deshalb nur eine kleine Verzögerung bei der Auslieferung der Seite. Viel länger dauert meistens die Formatierung durch JavaScript auf ihrem Rechner und ist abhängig von dessen Leistungsfähigkeit.

Schritte	rote Fläche	grüne Fläche
10	7,381752578824	14,306645135535
100	7,475590916809	14,512261813730
1000	7,476649338680	14,514466278103
10000	7,476659922566	14,514488322980
100000	7,476660028404	14,514488543429
1000000	7,476660029463	14,514488545634

Damit liegt das Ergebnis der Flächenberechnung auch mit dem eigenen Programm vor. Das negative Vorzeichen der oberen Schranke ergibt eine Umlaufrichtung wie ein Uhrzeiger. Würde man den Umlauf in mathematisch positiver Richtung eingeben, also gegen die Uhrzeigerrichtung, käme ein negatives Ergebnis heraus. Die Flächenelemente bei ansteigendem x-Wert würden dann positiv gezählt und sind in diesen Kurven kleiner als die Flächenanteile bei der Bewegung mit abfallenden x-Werten, die negativ gezählt würden. Alternativ zur negativen oberen Schranke kann man mit positivem Wert arbeiten, wenn man die Integrationsgrenzen vertauscht.

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