Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Februar 2019

Elsternbrücke

Elsternbrücke öffnet Schirm

1.) Bezeichnungen und Beschreibungen

$$\begin{align} G &= \text{Gravitationskonstante} \\ V &= \text{Massenverhältnis Erde zu Mond} \\ r_e &= \text{Radius der Erde} \\ r_m &= \text{Radius des Mondes} \\ m_e &= \text{Masse der Erde} \\ m_m &= \text{Masse des Mondes} \\ m &= \text{Probemasse am Lagrangepunkt} \\ d &= \text{Abstand der Schwerpunkte von Erde und Mond} \\ d_e &= \text{Abstand des Schwerpunkts der Erde vom Lagrangepunkt} \\ d_m &= \text{Abstand des Schwerpunkts des Mondes vom Lagrangepunkt} \\ d_x &= \text{Abstand des Schwerpunkts des Erde-Mond-Systems vom Lagrangepunkt} \\ \omega &= \text{Kreisfrequenz des Erde-Mond-Systems} \\ T &= \text{siderische Umlaufzeit aller Massen um den gemeinsamen Schwerpunkt} \\ f_e &= \text{Anziehungskraft zwischen Erde und Probemasse am Lagrangepunkt} \\ f_m &= \text{Anziehungskraft zwischen Mond und Probemasse am Lagrangepunkt} \\ f_z &= \text{Zentripedalkraft einer Probemasse am Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_e} &= \text{Richtung des Einheitsvektors von Erde zum Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_m} &= \text{Richtung des Einheitsvektors von Mond zum Lagrangepunkt} \\ \overrightarrow{e_z} &= \text{Richtung des Einheitsvektors vom Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems zum Lagrangepunkt} \\ \end{align}$$ $$\begin{align} x_e &= \text{x-Koordinate des Schwerpunkts der Erde} \\ x_m &= \text{x-Koordinate des Schwerpunkts des Mondes} \\ x &= \text{x-Koordinate des Lagrangepunkts} \\ y &= \text{y-Koordinate des Lagrangepunkts} \\ \end{align}$$

2.) gegebene und leicht zu berechnende Größen

$$ \begin{align} V &= 81,30059 \\ d &= 3,84400\cdot 10^{8}\; m \\ r_e &=6,37800\cdot 10^{6}\;m \\ r_m &=1,73800\cdot 10^{6}\;m \\ x_e &= -d\cdot\frac{1}{V+1} = -4,67068\cdot 10^{6}\; m \\ x_m &= d\cdot\frac{V}{V+1} = 3,79729\cdot 10^{8}\; m \\ \end{align} $$ Für dieses Rätsel nicht erforderlich (kürzt sich später raus): $$\rand {\begin{align} G &= 6,67259\cdot 10^{-11}\; m^3kg^{-1}s^{-2} \\ T &= 27,32166 \; d=2,36059\cdot 10^{6}\; s \end{align}}\tag{Antwort zu Frage 3 des Rätsels}$$ $$\begin{align} \omega &= \frac{2\pi}{T} = 2,66170\cdot 10^{-6}\; s^{-1} \\ m_e &= \frac{\omega^2\cdot d^3\cdot V}{G\cdot (V+1)}=5,95751\cdot 10^{24}\; kg \tag{1}\\ m_m &= \frac{\omega^2\cdot d^3}{G\cdot (V+1)}=7,32775\cdot 10^{22}\; kg \tag{2} \end{align} $$

3.) Berechnung der Koordinaten der Lagrange-Punkte L1 bis L3

$$ f_e \cdot \overrightarrow{e_e} + f_m \cdot \overrightarrow{e_m} = f_z \cdot \overrightarrow{e_z} \\ \frac{G\cdot m_e \cdot m}{ {d_e}^2} \cdot \overrightarrow{e_e} + \frac{G\cdot m_m \cdot m}{ {d_m}^2} \cdot \overrightarrow{e_m} = m \cdot \omega^2 \cdot d_x \cdot \overrightarrow{e_z}\\ \frac{m_e}{ {d_e}^2} \cdot \overrightarrow{e_e} + \frac{m_m}{ {d_m}^2} \cdot \overrightarrow{e_m} =\frac{ \omega^2\cdot d_x}{G} \cdot \overrightarrow{e_z} \\ \frac{m_e}{ {d_e}^3} \cdot \left(\matrix{x-x_e\\y}\right) + \frac{m_m}{ {d_m}^3} \cdot \left(\matrix{x-x_m\\y}\right) =\frac{ \omega^2}{G} \cdot \left(\matrix{x\\y}\right) \\ $$ Wenn man die Komponenten der Vektoren in zwei einzelne Gleichungen schreibt, hat man ein Gleichungssystem ohne Vektoren: $$ \frac{m_e}{ {d_e}^3} \cdot (x-x_e) + \frac{m_m}{ {d_m}^3} \cdot (x-x_m) -\frac{ \omega^2}{G} \cdot x =0 \tag{3} $$ $$ y\cdot\left(\frac{m_e}{ {d_e}^3} + \frac{m_m}{ {d_m}^3} -\frac{ \omega^2}{G} \right)=0 \tag{4} $$ Eine Lösung für die Gleichung (4) ist $y=0$. Dann wird aus der Gleichung (3) eine Funktion von x, deren Nullstellen zu suchen sind. $$ f(x)=\frac{m_e}{(x-x_e)|x-x_e|} + \frac{m_m}{(x-x_m)|x-x_m|} -\frac{ \omega^2}{G} \cdot x \\ $$ $m_e$ und $m_m$ wird ersetzt durch die Formel (1) und (2). Dann kürzt sich $\frac{\omega^2}{G}$. Wenn man $\frac{x}{d}$ durch $u$ substituiert erhält man nach einigen Umformungen eine Funktion von $u$, in der zusätzlich nur noch das Massenverhältnis $V$ auftaucht: $$ f(u)=\frac{V}{\left(u+\frac{1}{V+1}\right)\left|u+\frac{1}{V+1}\right|} + \frac{1}{\left(u-\frac{V}{V+1}\right)\left|u-\frac{V}{V+1}\right|} - (V+1) \cdot u $$ Der Kurvenverlauf dieser Funktion zeigt bereits Näherungswerte für die drei Nullstellen:

Funktionsverlauf

Zur Lösung dieser Gleichung kann das Newton-Verfahren zur schrittweisen Näherung benutzt werden: $$ u_{n+1} = u_n - \frac{f(u_n)}{f'(u_n)} $$ Dazu ist noch die 1. Ableitung zu bilden: $$ f'(u)=-\frac{2}{\left(u-\frac{V}{V+1}\right)^2\left|u-\frac{V}{V+1}\right|}-\frac{2V}{\left(u+\frac{1}{V+1}\right)^2\left|u+\frac{1}{V+1}\right|}-V-1 $$
$n$u1
00,8200000000
10,8383195691
20,8369265442
30,8369151483
40,8369151476
f'(u1)-929,6006986574
$n$u2
01,1500000000
11,1554712662
21,1556818618
31,1556821484
41,1556821484
f'(u2)-607,4483590201
$n$u3
0-1,0000000000
1-1,0050366721
2-1,0050626433
3-1,0050626440
4-1,0050626440
f'(u3)-248,6615663985


Damit sind die Koordinaten in der Schreibweise von Ortsvektoren der Lagrange-Punkte 1 bis 3 anzugeben: $$ \rand{ \begin{align} L_1&=\left(\matrix{x_1\\y_1}\right)=\left(\matrix{u_1\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{3,21710\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \\ L_2&=\left(\matrix{x_2\\y_2}\right)=\left(\matrix{u_2\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{4,44244\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \\ L_3&=\left(\matrix{x_3\\y_3}\right)=\left(\matrix{u_3\cdot d\\0}\right)=\left(\matrix{-3,86346\cdot 10^{8}\;m\\0}\right) \end{align} }\tag{Teilantwort zu Frage 1 des Rätsels} $$

4.) Berechnung der Koordinaten der Lagrange-Punkte L4 und L5

Auch wenn es zunächst schwieriger aussieht ist es dank Monsieur Lagrange (1736-1813) sehr viel einfacher, die Koordinaten der beiden Punkte zu berechnen, denn sie liegen genau auf dem dritten Punkt eines gleichseitigen Dreieck, wobei eine Seite die Strecke zwischen den Schwerpunkten von Erde und Mond ist, also die Länge $d$ hat.

Das muss man aber nicht nur glauben sondern kann es auch beweisen.

Die Gleichung (4) wurde schon benutzt, um die Lösung $y=0$ zu finden. Nun gilt für $y≠0$ die Gleichungen $$ \frac{m_e}{ {d_e}^3} + \frac{m_m}{ {d_m}^3} - \frac{\omega^2}{G} =0 $$ Auch hier wird $m_e$ und $m_m$ mit der Formel gemäß (1) und (2) ersetzt. $$ \frac{\omega^2}{G} \cdot \left(\frac{d}{d_e}\right)^3 \cdot \frac{V}{V+1} + \frac{\omega^2}{G} \cdot \left(\frac{d}{d_m}\right)^3 \cdot \frac{1}{V+1} = \frac{\omega^2}{G} \\ \left(\frac{d}{d_e}\right)^3 \cdot V + \left(\frac{d}{d_m}\right)^3 = V+1 $$ Wenn man annimmt, dass $d_e = d_m = d_{em}$ ist, also der Lagrange-Punkt gleich weit von Erde und Mond entfernt liegt, dann ergibt sich $$ \left(\frac{d}{d_{em}}\right)^3 \cdot (V+1) = V+1 \\ \left(\frac{d}{d_{em}}\right)^3=1 \\ \frac{d}{d_{em}} = 1 \\ \sand{d_{em}= d_e = d_m = d} $$ Also war die Annahme richtig und es ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck in dem die Höhe $y=d/2\cdot\sqrt{3}$ ist. Das schließt nicht aus, dass es darüber hinaus noch andere Lösungen gibt, aber nach weiteren ist in diesem Rätsel nicht gefragt. $$\rand{ \begin{align} L_4&=\left(\matrix{x_4\\y_4}\right)=\left(\matrix{x_e+d/2\\+\sqrt{3}\cdot d/2}\right)=\left(\matrix{1,87529\cdot 10^{8}\;m\\3,32900\cdot 10^{8}\;m}\right) \\ L_5&=\left(\matrix{x_5\\y_5}\right)=\left(\matrix{x_e+d/2\\-\sqrt{3}\cdot d/2}\right)=\left(\matrix{1,87529\cdot 10^{8}\;m\\-3,32900\cdot 10^{8}\;m}\right) \\ \end{align} }\tag{Restantwort zu Frage 1 des Rätsels}$$

5.) Berechnung des Radius r um L2

Erde-Mond-Satellit


Die in der Grafik mit s bezeichneten Strecken liegen auf einer Geraden durch die Schwerpunkte von Erde und Mond und sind im Wesentlichen bekannt. Die mit t bezeichneten Strecken liegen auf einer Geraden, die als Tangente wechselweise oben und unten an Erde und Mond gelegt ist. Mit den als r bezeichneten Strecken, wovon die Radien von Erde $r_e=6,37800\cdot 10^{6}\;m$ und Mond $r_m=1,73800\cdot 10^{6}\;m$ bekannt sind, bilden diese drei Gruppen von Strecken ähnliche Dreiecke. $$ \text{aus}\quad s_e+s_m=d \quad\text{und}\quad\frac{s_e}{s_m}=\frac{r_e}{r_m} \quad \text{folgt:} \\ \sand{s_e=\frac{d\cdot r_e}{r_e+r_m}=3,02083\cdot 10^{8}\;m}\quad\text{und}\quad \sand{s_m=\frac{d\cdot r_m}{r_e+r_m}=8,23173\cdot 10^{7}\;m} \\ \text{außerdem gilt}\quad \sand{s_s=x_2-x_m=6,45149\cdot 10^{7}\;m} $$ Nach dem 2. Strahlensatz gilt: $$ \frac{r_s}{r_m}=\frac{s_m+s_s}{s_m} \\ \sand{r_s=\frac{r_m}{s_m}\cdot (s_m+s_s)=3,10013\cdot 10^{6}\;m} $$ Als letztes wird $r$ berechnet, indem das Verhältnis $\frac{r}{r_s}=\frac{s_e}{t_e}$ wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gesetzt wird. Dazu muss noch $t_e$ berechnet werden. $$ \sand{t_e=\sqrt{s_e^2-r_e^2}=3,02015\cdot 10^{8}\;m} $$ $$\rand{ r=\frac{r_s\cdot s_e}{t_e}=3,10082\cdot 10^{6}\;m }\tag{Antwort zu Frage 2 des Rätsels}$$


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ausreichend mangelhaft ungenügend