Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom August 2017

Mechanik: aus rund wird gerade

1.) der Tschebyschow-Lambda-Mechanismus

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Lambda-Mechanismus

Das Original der auf der Weltausstellung gezeigten Plantigrad-Maschine steht im Polytechnischen Museum Moskau. Hier ist ein Video.

2.) die Koordinaten der fünf Punkte als f(α)

Die Schreibweise für Punkte kann unterschiedlich sein. In einem ebenen kartesischen Koordinatensystem sind aber immer zwei Koordinaten beteiligt die meistens mit $x$ und $y$ bezeichnet sind. Ein Punkt kann dann so geschrieben werden: $$ P(x,y) \quad \text{oder}\quad P(x|y) \quad \text{oder}\quad \overrightarrow{P}=\left(\matrix{x\\y}\right) $$ Die letzte Form nennt man auch Ortsvektor, also ein Vektor von $P(0,0)$ nach $P(x,y)$. Diese Form hat hier den Vorzug, weil man auch mit den Vektoren rechnen kann und die Übersichtlichkeit bei längeren Ausdrücken ist besser.

Die Punkte $P_0$ und $P_1$ sind festliegend und können deshalb einfach mit ihren festen Koordinaten als Ortsvektor beschrieben werden: $$\rand{ \overrightarrow{P_0}=\left(\matrix{x_0(\alpha)\\y_0(\alpha)}\right)=\left(\matrix{0\\0}\right)}\tag{0} $$ $$\rand{ \overrightarrow{P_1}=\left(\matrix{x_1(\alpha)\\y_1(\alpha)}\right)=\left(\matrix{-4\\0}\right)}\tag{1} $$ $P_2$ bewegt sich auf einem Kreis mit dem Radius $r=\overline{P_1P_2}=2$ um $P_1$ herum.

Die Parameterdarstellung eines Einheitskreises ist $$ \overrightarrow{Einheitskreis} = \left(\matrix{\cos\alpha\\\sin\alpha}\right) $$ und demzufolge ist die Parameterdarstellung von $P_2$: $$\rand{ \overrightarrow{P_2}=\overrightarrow{P_1}+r\cdot\overrightarrow{Einheitskreis}= \left(\matrix{x_2(\alpha)\\y_2(\alpha)}\right)=\left(\matrix{-4+2\cdot\cos\alpha\\2\cdot\sin\alpha}\right)}\tag{2} $$ Nun folgt der schwierigste Teil. $P_3$ ist sowohl von $P_0$ als auch von $P_2$ gleich weit entfernt und zwar 5 Einheiten. Bei einer geometrischen Konstruktion würde man mit einem auf 5 Einheiten eingestellten Zirkel Kreise um $P_0$ und $P_2$ schlagen und am Schnittpunkt (es gibt 2) liegt dann $P_3$. Auch hier kann man in der Vektorschreibweise vorankommen: $$ \overrightarrow{P_3}=\left(\matrix{x_3(\alpha)\\y_3(\alpha)}\right)= \overrightarrow{P_0}+5\cdot\left(\matrix{\cos\beta\\\sin\beta}\right)= \overrightarrow{P_2}+5\cdot\left(\matrix{\cos\gamma\\\sin\gamma}\right)\tag{3} $$ Man schreibt nun die Komponenten $x_3$ und $y_3$ in zwei Gleichungen heraus: $$ 5\cdot\cos\beta=x_2+5\cdot\cos\gamma \\ 5\cdot\sin\beta=y_2+5\cdot\sin\gamma $$ Dieses Gleichungssystem wird benutzt, um $\cos\beta$ und $\sin\beta$ in Abhängigkeit von $\alpha$ zu bestimmen.
Dazu werden die beiden Gleichungen umgestellt, durch 5 geteilt, quadriert und anschließend addiert. $$ \cos\beta-\frac{x_2}5=\cos\gamma \\ \sin\beta-\frac{y_2}5=\sin\gamma \\ \phantom{\frac11} \\ \cos^2\beta-\frac25x_2\cos\beta+\frac{ {x_2}^2 }{25}=\cos^2\gamma \\ \sin^2\beta-\frac25y_2\sin\beta+\frac{ {y_2}^2 }{25}=\sin^2\gamma \\ \phantom{\frac11} \\ 1-\frac25(x_2\cos\beta+y_2\sin\beta)+\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{25}=1 \\ x_2\cos\beta+y_2\sin\beta=\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10} $$ Das läuft auf eine quadratische Gleichung für die gesuchten Größen $\cos\beta$ oder $\sin\beta$ hinaus denn $\sin^2\beta=1-\cos^2\beta$. $$ \sqrt{1-\cos^2\beta}=\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10y_2}-\frac{x_2}{y_2}\cos\beta \\ 1-\cos^2\beta=\left(\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10y_2}\right)^2 -2\cdot\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10y_2}\cdot\frac{x_2}{y_2}\cos\beta + \left(\frac{x_2}{y_2}\cos\beta\right)^2 \\ -\left(\frac{ {x_2}^2}{ {y_2}^2}+1\right)\cos^2\beta + 2\cdot\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10y_2}\cdot\frac{x_2}{y_2}\cos\beta -\left(\frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{10y_2}\right)^2+1=0 \\ \cos^2\beta - \frac{x_2}5 \cos\beta + \frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{100} - \frac{ {y_2}^2}{ {x_2}^2+{y_2}^2}=0 \\ \cos\beta = \frac{x_2}{10} \pm \sqrt{ \left(\frac{x_2}{10} \right)^2 - \frac{ {x_2}^2+{y_2}^2 }{100} + \frac{ {y_2}^2}{ {x_2}^2+{y_2}^2} } \\ \cos\beta = \frac{x_2}{10} \pm \frac{y_2}{10} \cdot \sqrt{ \left(\frac{x_2}{y_2} \right)^2 - \left(\frac{x_2}{y_2} \right)^2 -1 + \frac{100}{ {x_2}^2+{y_2}^2} } \\ \cos\beta = \frac{x_2}{10} \pm \frac{y_2}{10} \cdot \sqrt{-1 + \frac{100}{ {x_2}^2+{y_2}^2} } $$ Für $\sin\beta$ ergibt sich der gleiche Rechenvorgang, nur $x_2$ muss mit $y_2$ ausgetauscht werden. $$ \sin\beta = \frac{y_2}{10} \mp \frac{x_2}{10} \cdot \sqrt{-1 + \frac{100}{ {x_2}^2+{y_2}^2} } $$ Damit auch hier $\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$ gilt, müssen die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen bekommen, was leicht zu beweisen ist. Der zweite (für diese Mechanik nicht benötigte) Schnittpunkt hätte davon wiederum umgekehrte Vorzeichen beider Wurzeln. Nach Einsetzen der Werte für $x_2$ und $y_2$ ergibt sich für den gesuchten Schnittpunkt: $$ \cos\beta=\frac{\cos\alpha - 2}5+\frac25\cdot \sin\alpha \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} \\ \sin\beta=\frac{\sin\alpha}5+\frac25\cdot (2-\cos\alpha) \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} $$ Eingesetzt in die Gleichung (3) ergibt das Ergebnis für Punkt $P_3$: $$\rand{ \overrightarrow{P_3}=\left(\matrix{x_3(\alpha)\\y_3(\alpha)}\right)=\left(\matrix{ \cos\alpha - 2 + \sin\alpha \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} \\ \sin\alpha + (2-\cos\alpha) \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} }\right)}\tag{3.1} $$ Zuletzt ist noch $P_4$ zu bestimmen. Das ist sehr einfach, weil es nur auf eine Verdoppelung der Länge des Vektors $\overrightarrow{P_2P_3}=\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_2}$ hinausläuft oder man addiert diesen Vektor zu $\overrightarrow{P_3}$. $$ \overrightarrow{P_4}=\overrightarrow{P_2}+2\cdot(\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_2})= \overrightarrow{P_3}+(\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_2})=2\cdot\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_2} $$ $$\rand{ \overrightarrow{P_4}=2\cdot\overrightarrow{P_3}-\overrightarrow{P_2}=\left(\matrix{x_4(\alpha)\\y_4(\alpha)}\right)=\left(\matrix{ \sin\alpha \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} \\ (2-\cos\alpha) \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}} }\right) }\tag{4}$$

3.) Extremwerte berechnen

Für die numerische Bestimmung der Nullstellen kann man sich mit dem Newton-Verfahren schrittweise nähern: $$ \alpha_{n+1} = \alpha_n - \frac{f(\alpha_n)}{f'(\alpha_n)}\tag{5} $$ Zunächst werden die min- und max-Werte der x-Komponente von $\overrightarrow{P_4}$ berechnet: $$ x_4(\alpha)=\sin\alpha \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}}\tag{6} $$ $$ {x_4}'(\alpha)=-\frac{ 2\cdot(25\cdot\sin^2 \alpha +2 \cdot\cos\alpha(5+\cos\alpha)(5-4\cdot\cos\alpha)) }{\sqrt{ (5-4\cdot \cos\alpha)^3 \cdot (5+ \cos\alpha ) } }\tag{7} $$ Die Ableitung ${x_4}'(\alpha)$ muss zu Null gesetzt werden und dafür reicht hier der Zähler: $$ f(\alpha) = -(25 - 50\cdot\cos\alpha + 5\cdot\cos^2\alpha + 8\cdot\cos^3\alpha) \\ f'(\alpha) = 2 \cdot (5 + 3\cdot\cos\alpha) \cdot (-5 + 4 \cdot \cos\alpha) \cdot \sin\alpha $$ $$\rand{\begin{align} \alpha_1 = 0,9772961050 & = 55,9949421538° \\ \text{Maximum:} \quad x(\alpha_1) & = 4,7036141499 \\ y(\alpha_1) & = 8,1746113850\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_2 = 5,3058892021 & = 304,0050578462° \\ \text{Minimum:} \quad x(\alpha_2) & = -4,7036141499 \\ y(\alpha_2) & = 8,1746113850\end{align}}$$ Als nächstes werden die min- und max-Werte der y-Komponente von $\overrightarrow{P_4}$ berechnet: $$ y_4(\alpha)=(2-\cos\alpha) \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{5 + \cos\alpha}{5 - 4 \cdot \cos\alpha}}\tag{8} $$ $$ {y_4}'(\alpha)=-\frac{ \sin2\alpha\cdot (8 \cdot \cos\alpha + 5 ) }{4\cdot\sqrt{ (5-4\cdot\cos\alpha)^3 \cdot (5+ \cos\alpha ) } }\tag{9} $$ Die Ableitung ${y_4}'(\alpha)$ muss zu Null gesetzt werden und dafür reicht auch hier der Zähler: $$ f(\alpha) = -\sin2\alpha\cdot (8 \cdot \cos\alpha + 5 ) \\ f'(\alpha) = -(16 \cdot \cos\alpha+10) \cdot \cos 2\alpha + 8 \cdot \sin 2\alpha $$ $$\rand{\begin{align} \alpha_3 = 0,0000000000 & = 0,0000000000° \\ x(\alpha_3) & = 0,0000000000 \\ \text{Maximum:} \quad y(\alpha_3) & = 9,7979589711\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_4 = 1,5707963268 & = 90,0000000000° \\ x(\alpha_4) & = 4,0000000000 \\ \text{Minimum:} \quad y(\alpha_4) & = 8,0000000000\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_5 = 2,2459278597 & = 128,6821874535° \\ x(\alpha_5) & = 2,3848480035 \\ \text{Maximum:} \quad y(\alpha_5) & = 8,0195074662\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_6 = 3,1415926536 & = 180,0000000000° \\ x(\alpha_6) & = 0,0000000000 \\ \text{Minimum:} \quad y(\alpha_6) & = 8,0000000000\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_7 = 4,0372574474 & = 231,3178125465° \\ x(\alpha_7) & = -2,3848480035 \\ \text{Maximum:} \quad y(\alpha_7) & = 8,0195074662\end{align}}$$ $$\rand{\begin{align} \alpha_8 = 4,7123889804 & = 270,0000000000° \\ x(\alpha_8) & = -4,0000000000 \\ \text{Minimum:} \quad y(\alpha_8) & = 8,0000000000\end{align}}$$

In der obigen Grafik sind die berechneten Extremwerte eingezeichnet. Damit man die Nichtlinearität der Linie zwischen $\alpha_4$ und $\alpha_8$ besser erkennen kann, ist darunter der Verlauf mit 30-facher Spreizung in y-Richtung abgebildet.

4.) rot umrandete Fläche berechnen

Die Flächenberechnung mit einem Integral ist im Prinzip einfach, und alle Zutaten sind schon vorhanden. Es gilt die Formel: $$ A=\oint \; y_4(\alpha)\cdot {x_4}'(\alpha) \; d\alpha\tag{10} $$ Das ist ein geschlossenes Integral über den vollen Umfang. Die Funktionsgleichung für $y_4(\alpha)$ liegt in Gleichung (8) vor und die Ableitung von $x_4(\alpha)$ in Gleichung (7).

Über den vollen Umfang der Kurve zu integrieren ist aber nicht nötig. Die Kurve ist bezogen auf die y-Achse spiegelsymmetrisch. Deshalb reicht eine Integration von o bis $\pi$, das ist die linke Hälfte der Kurve von $\alpha_3$ bis $\alpha_6$. Danach muss dann das Ergebnis verdoppelt werden. $$ A=2\cdot\intop_0^{\pi} \; y_4(\alpha)\cdot {x_4}'(\alpha) \; d\alpha\tag{11} $$ Es gibt durchaus Hilfsmittel im Internet, die dieses Integral numerisch berechnen können und ich habe es auch erreicht. Trotzdem möchte ich hier wieder einmal die Berechnung mit einem kleinen Programm demonstrieren. Man bestimmt den Wert der Fläche, indem man durch viele kleine Trapeze die Kurve annähert. Das ist quasi der Mittelwert aus der oberen und unteren Schranke durch Aufsummierung von Rechteckflächen, die einmal die Kurve mit einer Treppenfunktion außen und einmal innen annähern. Wenn die Anzahl der Schritte groß genug, also die Trapeze klein genug gewählt werden, ist das Ergebnis eine gute Näherung. Hier zunächst das kleine Programm in der Programmiersprache PHP:


Die Anwendung dieses Programms findet gleich hier statt. In der folgenden Tabelle sind pro Zeile die Schrittzahl, das Ergebnis des obigen Programms und der Fehler, der durch Vergleich mit einer anderen Rechnung möglich ist, aufgelistet. Die Laufzeit steigt natürlich mit zunehmender Schrittzahl, ist aber immer noch unter einer Sekunde. Die Berechnung findet nach dem Seitenaufruf auf dem Server statt (PHP ist Server seitig) und bedeutet deshalb nur eine kleine Verzögerung bei der Auslieferung der Seite. Viel länger dauert meistens die Formatierung durch JavaScript auf dem Rechner und ist abhängig von dessen Leistungsfähigkeit.

Schritte	Fläche	Fehler
10	12,410148366738	0,156222247621
100	12,564799792570	0,001570821789
1000	12,566354904599	0,000015709760
10000	12,566370457262	0,000000157097
100000	12,566370612788	0,000000001572
1000000	12,566370614346	0,000000000013

Damit liegt das Ergebnis der Flächenberechnung vor. Überraschend ist, dass der Flächeninhalt mit dem des Kreises (blaue Fläche) gleich ist, nämlich $4\pi$ !

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