Lösungsbeschreibung des Preisrätsels vom Februar 2018

drei Würfel

drei Würfel

1.) die Aufgabe

Es soll durch Addition und/oder Subtraktion der drei gewürfelten Zahlen die kleinstmögliche Zahl gebildet werden. In dem obigen Wurfergebnis kommt man auf $3-1-1=1$. Die Frage ist also: nach welcher Methode kann man immer diesen kleinsten Wert erzielen und wie groß ist der Erwartungswert, also der Mittelwert dieser kleinsten Zahl bei sehr vielen Versuchen.

2.) Ungleichungen

Wenn man die Wurfzahlen der drei Würfel nach aufsteigenden Werten sortiert und dann mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet, dann kann man schreiben $$ a \le b \le c\tag{1} $$ Alle möglichen Kombinationen von Additionen und Subtraktionen haben dann folgende Beziehung: $$ |a+b-c| \le |a-b+c| \le |a-b-c| \le |a+b+c|\tag{2} $$ was noch zu beweisen ist. Dazu nimmt man zunächst die ersten beiden Terme zum Quadrat: $$\begin{align} (a+b-c)^2 &\le (a-b+c)^2 \\ a^2 + ab - ac + ab + b^2 - bc - ac - bc + c^2 &\le a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc + ac - bc + c^2 \\ ab - ac + ab - ac &\le - ab + ac - ab + ac \\ 4ab &\le 4ac \\ b &\le c \end{align}$$ Auf die gleiche Weise geht man mit dem 2. und 3. Term um: $$\begin{align} (a-b+c)^2 &\le (a-b-c)^2 \\ a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc + ac - bc + c^2 &\le a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc + c^2 \\ ac - bc + ac - bc &\le - ac + bc - ac + bc \\ 4ac &\le 4bc \\ a &\le b \end{align}$$ Und zuletzt noch der 3. und 4. Term: $$\begin{align} (a-b-c)^2 &\le (a+b+c)^2 \\ a^2 - ab - ac - ab + b^2 + bc - ac + bc + c^2 &\le a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2 \\ -ab - ac - ab - ac &\le + ab + ac + ab + bc + ac \\ 0 &\le 4ac + 4ab \\ 0 &\le c + b \end{align}$$ Damit ist die Beziehung (2) bewiesen und daraus folgt: $$\rand{ \text{wenn }a \le b \le c\text{ ist der gesuchte kleinste Term }|a+b-c| }\tag{3}$$

3.) alle Kombinationen

Bei drei Würfel mit je sechs Möglichkeiten gibt es $$\rand{ \text{alle Kombinationen}=6^3=216}$$ Mit einem passenden Programm kann man alle diese Möglichkeiten durchgehen, den Wert des kleinsten Terms bestimmen und alle diese Terme aufaddieren. Zuletzt muss die Summe durch die Anzahl der Möglichkeiten geteilt werden und damit ist die Antwort auf die Rätselfrage gefunden. aber es geht auch ohne Programm, sogar ohne Rechner.

4.) die sortierten verschiedenen Kombinationen

Mit $n=6$ Möglichkeiten und $k=3$ Würfel ergibt sich: $$\rand{ \text{sortiert verschiedene Kombinationen}=\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!\,k!}={n+k-1 \choose k}=\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{6 \choose 3}\!\!\right)=56 }$$ Das ist eine noch von Hand zu bewältigende Anzahl und passt auf eine Papierseite. Man schreibt in die erste Zeile die kleinste beim Würfeln mögliche Zahlenkombination ⚀⚀⚀. Dahinter den Wert des Terms gemäß (3), also in diesem Fall $|1+1-1|=1$. Die nächste Spalte soll die Anzahl dieser Kombination innerhalb aller Möglichkeiten enthalten. Das ist in diesem Fall auch $1$, weil alle Würfel den gleichen Wert haben. Sollten nur zwei Würfel den gleichen Wert haben, so sind drei Auftreten dieser sortierten Möglichkeit in der Gesamtzahl enthalten, nämlich die beiden gleichen Werte 1.) links und in der Mitte, 2.) links und rechts und 3.) in der Mitte und rechts. Wenn alle Werte voneinander verschieden sind ist die Häufigkeit in der Gesamtzahl sogar sechs, nämlich $$ a b c\quad a c b\quad b a c\quad b c a\quad c a b\quad c b a $$ In der zweiten Zeile erhöht man den Wert des rechten Würfels um eins und erhält ⚀⚀⚁. Das geht in den folgenden Zeilen so weiter bis ⚀⚀⚅. Beim nächsten Schritt wird der Wert des mittleren Würfels erhöht und der gleiche Wert gilt dann auch für den rechten Würfel. Nur so ist immer eine sortierte Reihenfolge vorhanden.

Es gibt in der Tabelle noch eine letzte Spalte mit dem Produkt aus dem jeweiligen Term und der Häufigkeit des Auftretens. Diese Zahlen müssen an Ende noch über die ganze Tabelle aufaddiert werden. Hier folgt die Ausgabe der Tabelle, die allerdings nicht von Hand sondern mit einem kleinen Programm erzeugt und ausgegeben wird:

Nr.sortierter WurfTermHäufigkeitProdukt
a     b     c|a+b-c|dieses WurfsTerm ⋅ Würfe
1⚀⚀⚀111
2⚀⚀⚁030
3⚀⚀⚂133
4⚀⚀⚃236
5⚀⚀⚄339
6⚀⚀⚅4312
7⚀⚁⚁133
8⚀⚁⚂060
9⚀⚁⚃166
10⚀⚁⚄2612
11⚀⚁⚅3618
12⚀⚂⚂133
13⚀⚂⚃060
14⚀⚂⚄166
15⚀⚂⚅2612
16⚀⚃⚃133
17⚀⚃⚄060
18⚀⚃⚅166
19⚀⚄⚄133
20⚀⚄⚅060
21⚀⚅⚅133
22⚁⚁⚁212
23⚁⚁⚂133
24⚁⚁⚃030
25⚁⚁⚄133
26⚁⚁⚅236
27⚁⚂⚂236
28⚁⚂⚃166
29⚁⚂⚄060
30⚁⚂⚅166
31⚁⚃⚃236
32⚁⚃⚄166
33⚁⚃⚅060
34⚁⚄⚄236
35⚁⚄⚅166
36⚁⚅⚅236
37⚂⚂⚂313
38⚂⚂⚃236
39⚂⚂⚄133
40⚂⚂⚅030
41⚂⚃⚃339
42⚂⚃⚄2612
43⚂⚃⚅166
44⚂⚄⚄339
45⚂⚄⚅2612
46⚂⚅⚅339
47⚃⚃⚃414
48⚃⚃⚄339
49⚃⚃⚅236
50⚃⚄⚄4312
51⚃⚄⚅3618
52⚃⚅⚅4312
53⚄⚄⚄515
54⚄⚄⚅4312
55⚄⚅⚅5315
56⚅⚅⚅616
Summen:216336


Nun ist es leicht, die Rätselfrage zu beantworten. Der Erwartungswert ist der Mittelwert aller Kombinationen. Die Summe aller Werte liegt mit $336$ vor. Die Anzahl aller Kombinationen war schon vorher bekannt und ist hier am Ende der Tabelle nochmal bestätigt worden. $$\rand{ \text{Erwartungswert} =\frac{336}{216}= 1 \frac59 }$$



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