1.) Erklärungen zu den folgenden Formeln
Wie man aus der obigen Animation sieht, ist das reale Seil um eine Umwicklung eines Pfahls oder der Rolle länger als das ideale Seil,
denn die gradlinigen Abschnitte sind von der Länge gleich und die zwei bis drei runden Anteile kommen hinzu und ergeben eine volle Runde.
Der Krümmungsradius des Seils ist nicht nur der Radius der Rolle.
Es kommt noch der Radius des Seils hinzu.
Nur dann ist die Linie in der Seilmitte der Bezug für die Seilänge und für den Vergleich mit der idealen Ellipsenkonstruktion.
2.) Bestimmung der Abmessungen
linke Ellipse
$$\sand{\begin{align}
\text{Seillänge} = s & = 10,000000\,m \\
\text{Abstand der Brennpunkte} = d = 2\cdot e & = 4,000000\,m \\
\text{große Halbachse} = a = (s-d)/2 & = 3,000000\,m \\
\text{kleine Halbachse} = b = \sqrt{a^2-e^2} & = 2,236068\,m \\
\text{Hilfsgröße} = \lambda = \frac{a-b}{a+b} & = 0,145898 \\
\text{Umfang (einfach)}=U_e\approx \pi(a+b) & = 16,449593\,m \\
\text{Umfang (genauer)}=U_g\approx \pi(a+b)\left(1+\frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}}\right) & = 16,537247\,m \\
\end{align}}$$
rechte Ellipse
$$\sand{\begin{align}
\text{Seillänge} = s & = 10,000000\,m \\
\text{Rollendurchmesser} = d_r & = 0,050000\,m \\
\text{Seildurchmesser} = d_s & = 0,010000\,m \\
\text{effektiver Radius}=r_{eff}=(d_r+d_s)/2 & = 0,030000\,m \\
\text{effektive Seillänge}=s_{eff}=s-2\pi\cdot r_{eff} & = 9,811504\,m \\
\text{Abstand der Brennpunkte} = d = 2\cdot e & = 4,000000\,m \\
\text{große Halbachse} = a = (s_{eff}-d)/2 & = 2,905752\,m \\
\text{kleine Halbachse} = b = \sqrt{a^2-e^2} & = 2,107936\,m \\
\text{Hilfsgröße} = \lambda = \frac{a-b}{a+b} & = 0,159128 \\
\text{Umfang (einfach)}=U_e\approx \pi(a+b) & = 15,750967\,m \\
\text{Umfang (genauer)}=U_g\approx \pi(a+b)\left(1+\frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}}\right)& =15,850836\,m \\
\end{align}}$$
3.) Antwort auf Rätselfrage 1
Im Rätsel war nach dem prozentualen Unterschied der Umfangslängen gefragt.
$$\rand{\begin{align}
\text{Umfangsunterschied in Prozent (einfach)}=p=100*\left(1-\frac{U_e(rechts)}{U_e(links)}\right)& =4,247067\,\% \\
\text{Umfangsunterschied in Prozent (genauer)}=p=100*\left(1-\frac{U_g(rechts)}{U_g(links)}\right)& =4,150698\,\%
\end{align}}$$
4.) die rotierende Rolle
Es sind die drei folgenden Punkte zu beachten:
- Punkt 1: Bei der Rechnung zum Abrollen auf dem Seil sollte der effektive Radius wie oben in der Rechnung benutzt werden.
Man stelle sich vor, die innere und die äußere Hälfte des Seils würde herausgeschnitten
und die umschlungenen Kreise wachsen bis an die unendlich dünne Seilmitte (Bild 3),
dann würde sich das Rotieren der Rolle genauso verhalten wie in Bild 2 mit dem dicken Seil.
- Punkt 2: Nicht die gesamte Seillänge wird von der Rolle pro Umlauf abgerollt, da das Seil ein Stück mit umläuft,
also bleibt nur eine verminderte Laufstrecke auf dem Seil: die Rolllänge.
Die von der Seillänge abzuziehende Länge ist zweimal der minimale Abstand der Kreismittelpunkte von Rolle und nächstgelegenem Pfahl.
- Punkt 3: Von der errechneten Zahl Rollenumdrehungen muss eine Umdrehung abgezogen werden, da der Berührungspunkt in Gegenrichtung umläuft.
An der folgenden Animation kann man die drei Punkte sich verdeutlichen.
In Bild 4 ist der Abstand der Brennpunkte zu Null geschrumpft und das Seil besonders dick dargestellt.
Unabhängig von der Seillänge bleibt die Rolllänge konstant,
weil die Seillänge um den doppelten Abstand der Kreismittelpunkte vermindert immer die gleiche Rolllänge ergibt.
Diese Rolllänge ist in Bild 4 genau eine Umschlingung der Rolle und wenn diese Länge abgerollt wird, ergibt das einen Umlauf.
Davon wird wegen Punkt 3 eins abgezogen und man erhält als Ergebnis Null, den Stillstand der Rolle.
Hier folgt nun analog zum obigen Beispiel die Berechnung zur Rätselfrage 2:
$$\rand{\begin{align}
\text{Rolllänge} = s_{roll} = s - 2 \cdot (a-e) & = 8,188496\,m \\
\text{Umdrehungen der Rolle} = n = \frac{s_{roll}}{2\pi\cdot r_{eff}}-1 & = 42,441318 \\
\end{align}}$$